Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата

Это наводит на догадку, что сфера обладает некоторыми свойствами, аналогичными свойствам окружности. Например, что свойства взаимного расположения прямой и окружности переводятся в свойства взаимного расположения плоскости и сферы: 1) Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек. 2) Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют одну и только одну общую точку. 3) Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то плоскость и сфера пересекаются по окружности (т. е. имеют бесконечное множество общих точек, лежащих на окружности). Как видно, лишь в третьем случае проявляется различие между окружностью и сферой, которое должно учитываться при формулировке аналогичных свойств. Свойство касательной плоскости тоже может быть найдено с помощью аналогии.

Обобщение, абстрагирование и конкретизация

Обобщение и абстрагирование - два логических приема, применяемые почти всегда совместно в процессе познания.

Обобщение - это мысленное выделение, фиксирование каких-ни-будь общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений. Абстрагирование - это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения) последних.

Когда мы говорим "несущественные свойства", то имеется в виду несущественные с математической точки зрения. Один и тот же предмет может изучаться, например, и физикой, и математикой. Для физики существенны одни его свойства (твердость, теплопроводимость, электропроводимость и другие физические свойства), для математики эти свойства несущественны, она изучает лишь форму, размеры, расположение предмета.

Из приведенного краткого разъяснения видно, что абстрагирование не может осуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, что подлежит абстрагированию.

Обобщение и абстрагирование неизменно применяются в процессе формирования понятий, при переход от представлений к понятиям и, вместе с индукцией, как эвристический метод.

Под обобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего к более общему.

Под конкретизацией понимают обратный переход - от более общего к менее общему, от общего к единичному.

Если обобщение используется при формировании понятий, то конкретизация используется при описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.

Уточним переход от единичного к общему, от менее общего к более общему и обратный переход.

Например, формирование понятия "квадрат" на раннем этапе обучения начинается показом множества предметов, отличающихся друг от друга формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны. Дети, после того как им показывают на одну из этих фигур и говорят, что это квадрат, безошибочно отбирают из множества фигур все те, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размеров, окраски, материала. Здесь выделение из множества предметов подмножества производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку - по форме. Дети еще не знают свойств квадрата, они распознают его только по форме. Такое распознавание встречается у детей 4-5 лет. Дальнейшая работа по формированию понятия квадрата состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств. Учащимся предлагается путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных фигур, имеющих форму квадрата, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у всех квадратов 4 вершины и 4 стороны. Но у некоторых фигур, которые мы не отнесли к квадратам, тоже 4 вершины и 4 стороны. Оказывается, у квадрата все стороны равны и все углы прямые. Все отобранные фигуры, обладающие этими свойствами, мы объединяем в один класс - квадраты (переход от единичного к общему).

В дальнейшем обучении этот класс включается в более широкий класс прямоугольников (переход от общего к более общему). При этом переходе к более широкому классу происходит сужение характеристики класса, одно из свойств, характеризующих класс квадратов (равенство всех сторон), опускается.

Так, если множество свойств, характеризующих класс предметов А, обозначить через S(А) (в традиционной формальной логике А называется объемом понятия, а S(А)-содержанием понятия), то имеет место следующее соотношение: если АВ, то S(В)S(A).

Обратный переход от более общего к менее общему, или выделение некоторого подкласса А класса В, осуществляется с помощью некоторого свойства, которым обладают некоторые элементы В, другие же не обладают им. Те элементы В, которые обладают этим новым свойством и образуют подкласс А класса В.

Присоединив это новое свойство Р к множеству свойств, характеризующих класс В, получаем множество свойств, характеризующих подкласс А, т. е. S(В){Р} = S(A), или S(В)S(А).

В нашем примере, если к содержанию понятия "прямоугольник" (к множеству свойств, характеризующих класс прямоугольников) добавить новое свойство (равенство всех сторон), мы получим содержание понятия "квадрат" (множество свойств, характеризующих класс квадратов).

В математике обобщение и абстрагирование часто связаны с заменой постоянных переменными (в переходе от записи отдельных фактов к записи общих закономерностей), а конкретизация - с подстановкой вместо переменных их значений (в обратном переходе).

Рассмотрим с точки зрения использования обобщения и абстрагирования открытие закона коммутативности сложения, который ранее мы изучили в ином аспекте.

Исходным эмпирическим материалом здесь служат непересекающиеся множества А и В конкретных предметов (карандашей и ручек или черных и красных палочек). Легко обнаруживается опытным путем, что, присоединяя к множеству А множество В или, наоборот, к множеству В множество А, получаем одно и то же множество. Варьируя число элементов этих множеств, получаем ряд конкретных равенств:

2+3==3+2; 5+7==7+5; 4+8=8+4 и т. п.

Внимательно присматриваемся к этим равенствам с целью выявления содержащегося в них общего и отделения его от частного содержания. Замечаем: в левой части каждого из этих равенств записана сумма двух чисел, в правой - сумма этих же чисел, но записанных в другом порядке. Как же сохранить только это общее, отвлекаясь от конкретных чисел, входящих в эти равенства?

Если просто отбросить эти числа, мы получим форму с "пустыми местами":

" ... + ... = ... + ...",

которая не отражает выявленной общей закономерности, так как не отмечено, какие пустые места должны заполняться одними и теми же названиями чисел. Чтобы устранить этот недостаток полученной формы, изображают пустые места, которые должны заполняться именами одних и тех же чисел, в виде пустых "окошек" одинаковой формы. В результате получаем:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: атлетика реферат, сообщение об открытии счета.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки