Электрон в слое
Категория реферата: Рефераты по физике
Теги реферата: бесплатные рефераты скачать, научные текст
Добавил(а) на сайт: Miloradov.
1
Микрочастица (электрон) в слое.
Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.
Она состоит в следующем :
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
? -(2/(2m)?¶2/¶x2 + U0, x < -a>
? ?
H = ? -(2/(2m0)?¶2/¶x2, -a < x
?
? -(2/(2m)?¶2/¶x2 + U0, x > a
Где m - эффективная масса электрона в областях I, III ;
m0 - эффективная масса электрона в области II.
Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :
? ¶2YI/¶x2 + 2m/(2?(E - U0)YI = 0, x ? -a
?
? ¶2YII/¶x2 + 2m0/(2?E?YI = 0, -a ? x ? a
?
? ¶2YIII/¶x2 + 2m/(2?(E - U0)?YI = 0 , x ? a
Область I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :
YI(x) = A?exp(n?x) + B?exp(-n?x).
Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,
YI(x) = A?exp(n?x).
Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :
YII(x) = C?exp(i?k?x) + D?exp(-i?k?x).
Функция состояния для третьей области выглядит так :
YIII(x) = F?exp(-n?x).
Где
k = (2m0?E/(2)1/2
n = (2m?(U0-E)/(2)1/2.
Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :
* ? Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
* ? В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.
* ? Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :
YI(x=-a) = YII(x=-a)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YI?(x=-a)/m = YII?(x=-a)/m0
YII?(x=a)/m0 = YIII?(x=a)/m
А в наших определениях этих функций это выглядит так :
A?exp(-n?a) = C?exp(-i?k?a) + D?exp(i?k?a)
m-1?A? n?exp(-n?a) = i?k?/m0?(C?exp(-i?k?a) - D?exp(i?k?a))
C?exp(i?k?a) + D?exp(-i?k?a) = F?exp(-n?a)
i?k?/m0?(C?exp(i?k?a) - D?exp(-i?k?a)) = - n/m?F?exp(-n?a).
Теперь составим определитель :
|exp(-n?a) -exp(-i?k?a) -exp(i?k?a) 0 |
|m-1?n?exp(-n?a) -1/m0?i?k?exp(-i?k?a) 1/m0?i?k?exp(i?k?a) 0 |
|0 exp(i?k?a) exp(-i?k?a) -exp(-n?a) |
|0 1/m0?i?k?exp(i?k?a) -1/m0?i?k?exp(-i?k?a) 1/m?n?exp(-n?a)|
Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:
((n/m)2 - (k/m0)2)?Sin(2?k?a) + 2?k?n/(m?m0)?Cos(2?k?a) = 0.
Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C = F?exp(-n?a)?{exp(i?k?a) + exp(-3?i?k?a) ?( i?k/m0 - n/m)/(n/m + i?k/m0)}
D = C?exp(-2?i?k?a)?( i?k/m0 - n/m)/(n/m + i?k/m0)
A = exp(n?a)?(C?exp(-i?k?a) + D?exp(i?k?a)).
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :
A = RA?F
C = RC?F
D = RD?F.
RA, RC, RD - известные постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.
Действительно :
YI(x) = F?RA?exp(n?x)
YII(x) = F?( RC?exp(i?k?x) + RD?exp(-i?k?x)).
YIII(x) = F?exp(-n?x).
I1 + I2 + I3 = 1
Где
I1 = |F|2?|RA|2??Qexp(2?n?x)?dx = |F|2?|RA|2?(2?n)-1?exp(2?n?x) =
= |F|2?|RA|2?(2?n)-1?exp(-2?n?a)
I2 = |F|2?RD = |F|2?2 +
I3 = |F|2??Wexp(-2?n?x)?dx = |F|2?(2?n)-1?exp(-2?n?a)
|F|2 = RD-1.
Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.
Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.
То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:
U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.
Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:
¶2Y/¶x2 + 2m/(2?(E - U0)Y = 0
следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:
r = exp(i 2ak)
Тогда Y(x+2ma) = Y(x)?rm, где m=0, ±1, ±2,... (2)
Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E
Рассмотрим область I:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
¶2YI/¶x2 + 2m2/(2?(E - U0)YI = 0, 0 > x > -a
его решение выглядит просто:
YI(x) = A?exp(n?x) + B?exp(-n?x).
Где n = (2m2 (U0-E) /(2)1/2
Рассмотрим область II:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
¶2YII/¶x2 + 2m1/(2?E YII = 0, a ? x ? 0
его решение выглядит просто:
YII(x) = C?exp(i?p?x) + D?exp(-i?p?x).
Где p = (2m1E/(2)1/2
Рассмотрим область III:
¶2YIII/¶x2 + 2m2/(2?(E - U0)YIII = 0, 2a > x > a
его решение выглядит просто:
YIII(x) = r (A?exp(n?x) + B?exp(-n?x)).
Запишем граничные условия:
YI(x=0) = YII(x=0)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YI?(x=0)/m = YII?(x=0)/m0
YII?(x=a)/m0 = YIII?(x=a)/m
Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:
A+B=C+D
C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1
(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :
|1 1 -1 -1 |
|exp(i?k?2a+n?a) exp(i?k?2a-n?a) -exp(i?p?a) -exp(-i?p?a) |
|n/m2 -n/m2 -i?p/m1 i?p/m1 |
|n/m2exp(i?k?2a+n?a) -n/m2?exp(i?k?2a-n?a) - i?p/m1?exp(i?p?a) i?p/m1?exp(-i?p?a) |
и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.
a=10; U=10; m1=4; m2=1
0.1135703312666857 0.6186359585387896 0.2019199605676639
0.3155348518478819 0.05047267055441365 1.263391478912778
0.4544326758658974 2.137353840637548 0.808172718170137
2.479933076698526 0.4544326758658974 6.168062551132728
5.611693924351967 1.820461802850339 1.529165865668653
1.023077302091622
a=10 U=10 m1=2 m2=1
0.1032788024178655 0.2324238959628721 0.41331603936642
0.6460490460448886 0.930750939555283 1.26759057783714
1.656787195799296 2.098624192369327
2.593469359607937 3.141805331837109
3.744277072860902 5.887485640841992
a=10 U=10 m1=1 m2=1
0.05408120469105441 0.2163802958297131 0.4870681554965061
0.86644533469418 1.354969224117534 1.953300729714778
2.662383817919513 4.418966218448088 7.961581805911094
a=10 U=10 m1=0.5 m2=1
0.118992095909544 4.249561710930034 1.068004282376146
0.4754473139332004 5.78216724725356 2.955345679469631
1.895012565781256
a=10 U=10 m1=.25 m2=1
0.2898665804439349 4.30026851446248
2.479039415645616 1.132264393019809
Скачали данный реферат: Тучков, Chuchumashev, Fridrih, Богун, Kazjuchic, Bychkov, Тянников.
Последние просмотренные рефераты на тему: сочинение, рефераты бесплатно, решебник 10 11, матершинные частушки.
1
Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.
Она состоит в следующем :
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
? -(2/(2m)?¶2/¶x2 + U0, x < -a>
? ?
H = ? -(2/(2m0)?¶2/¶x2, -a < x
?
? -(2/(2m)?¶2/¶x2 + U0, x > a
Где m - эффективная масса электрона в областях I, III ;
m0 - эффективная масса электрона в области II.
Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :
? ¶2YI/¶x2 + 2m/(2?(E - U0)YI = 0, x ? -a
?
? ¶2YII/¶x2 + 2m0/(2?E?YI = 0, -a ? x ? a
?
? ¶2YIII/¶x2 + 2m/(2?(E - U0)?YI = 0 , x ? a
Область I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :
YI(x) = A?exp(n?x) + B?exp(-n?x).
Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,
YI(x) = A?exp(n?x).
Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :
YII(x) = C?exp(i?k?x) + D?exp(-i?k?x).
Функция состояния для третьей области выглядит так :
YIII(x) = F?exp(-n?x).
Где
k = (2m0?E/(2)1/2
n = (2m?(U0-E)/(2)1/2.
Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :
* ? Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
* ? В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.
* ? Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :
YI(x=-a) = YII(x=-a)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YI?(x=-a)/m = YII?(x=-a)/m0
YII?(x=a)/m0 = YIII?(x=a)/m
А в наших определениях этих функций это выглядит так :
A?exp(-n?a) = C?exp(-i?k?a) + D?exp(i?k?a)
m-1?A? n?exp(-n?a) = i?k?/m0?(C?exp(-i?k?a) - D?exp(i?k?a))
C?exp(i?k?a) + D?exp(-i?k?a) = F?exp(-n?a)
i?k?/m0?(C?exp(i?k?a) - D?exp(-i?k?a)) = - n/m?F?exp(-n?a).
Теперь составим определитель :
|exp(-n?a) -exp(-i?k?a) -exp(i?k?a) 0 |
|m-1?n?exp(-n?a) -1/m0?i?k?exp(-i?k?a) 1/m0?i?k?exp(i?k?a) 0 |
|0 exp(i?k?a) exp(-i?k?a) -exp(-n?a) |
|0 1/m0?i?k?exp(i?k?a) -1/m0?i?k?exp(-i?k?a) 1/m?n?exp(-n?a)|
Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:
((n/m)2 - (k/m0)2)?Sin(2?k?a) + 2?k?n/(m?m0)?Cos(2?k?a) = 0.
Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C = F?exp(-n?a)?{exp(i?k?a) + exp(-3?i?k?a) ?( i?k/m0 - n/m)/(n/m + i?k/m0)}
D = C?exp(-2?i?k?a)?( i?k/m0 - n/m)/(n/m + i?k/m0)
A = exp(n?a)?(C?exp(-i?k?a) + D?exp(i?k?a)).
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :
A = RA?F
C = RC?F
D = RD?F.
RA, RC, RD - известные постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.
Действительно :
YI(x) = F?RA?exp(n?x)
YII(x) = F?( RC?exp(i?k?x) + RD?exp(-i?k?x)).
YIII(x) = F?exp(-n?x).
I1 + I2 + I3 = 1
Где
I1 = |F|2?|RA|2??Qexp(2?n?x)?dx = |F|2?|RA|2?(2?n)-1?exp(2?n?x) =
= |F|2?|RA|2?(2?n)-1?exp(-2?n?a)
I2 = |F|2?RD = |F|2?2 +
I3 = |F|2??Wexp(-2?n?x)?dx = |F|2?(2?n)-1?exp(-2?n?a)
|F|2 = RD-1.
Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.
Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.
То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:
U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.
Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:
¶2Y/¶x2 + 2m/(2?(E - U0)Y = 0
следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:
r = exp(i 2ak)
Тогда Y(x+2ma) = Y(x)?rm, где m=0, ±1, ±2,... (2)
Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E
Рассмотрим область I:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
¶2YI/¶x2 + 2m2/(2?(E - U0)YI = 0, 0 > x > -a
его решение выглядит просто:
YI(x) = A?exp(n?x) + B?exp(-n?x).
Где n = (2m2 (U0-E) /(2)1/2
Рассмотрим область II:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
¶2YII/¶x2 + 2m1/(2?E YII = 0, a ? x ? 0
его решение выглядит просто:
YII(x) = C?exp(i?p?x) + D?exp(-i?p?x).
Где p = (2m1E/(2)1/2
Рассмотрим область III:
¶2YIII/¶x2 + 2m2/(2?(E - U0)YIII = 0, 2a > x > a
его решение выглядит просто:
YIII(x) = r (A?exp(n?x) + B?exp(-n?x)).
Запишем граничные условия:
YI(x=0) = YII(x=0)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YI?(x=0)/m = YII?(x=0)/m0
YII?(x=a)/m0 = YIII?(x=a)/m
Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:
A+B=C+D
C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1
(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :
|1 1 -1 -1 |
|exp(i?k?2a+n?a) exp(i?k?2a-n?a) -exp(i?p?a) -exp(-i?p?a) |
|n/m2 -n/m2 -i?p/m1 i?p/m1 |
|n/m2exp(i?k?2a+n?a) -n/m2?exp(i?k?2a-n?a) - i?p/m1?exp(i?p?a) i?p/m1?exp(-i?p?a) |
и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.
a=10; U=10; m1=4; m2=1
0.1135703312666857 0.6186359585387896 0.2019199605676639
0.3155348518478819 0.05047267055441365 1.263391478912778
0.4544326758658974 2.137353840637548 0.808172718170137
2.479933076698526 0.4544326758658974 6.168062551132728
5.611693924351967 1.820461802850339 1.529165865668653
1.023077302091622
a=10 U=10 m1=2 m2=1
0.1032788024178655 0.2324238959628721 0.41331603936642
0.6460490460448886 0.930750939555283 1.26759057783714
1.656787195799296 2.098624192369327
2.593469359607937 3.141805331837109
3.744277072860902 5.887485640841992
a=10 U=10 m1=1 m2=1
0.05408120469105441 0.2163802958297131 0.4870681554965061
0.86644533469418 1.354969224117534 1.953300729714778
2.662383817919513 4.418966218448088 7.961581805911094
a=10 U=10 m1=0.5 m2=1
0.118992095909544 4.249561710930034 1.068004282376146
0.4754473139332004 5.78216724725356 2.955345679469631
1.895012565781256
a=10 U=10 m1=.25 m2=1
0.2898665804439349 4.30026851446248
2.479039415645616 1.132264393019809
Скачали данный реферат: Тучков, Chuchumashev, Fridrih, Богун, Kazjuchic, Bychkov, Тянников.
Последние просмотренные рефераты на тему: сочинение, рефераты бесплатно, решебник 10 11, матершинные частушки.
1