Функция распределения электронов

Категория реферата: Рефераты по физике
Теги реферата: рассказы, новшество
Добавил(а) на сайт: Норин.

Соответствующая замена переменных произведена непосредственно в уравнении
(8). В дальнейшем мы всегда будем пользоваться следующими сокращенными обозначениями:

(9)

Уравнение Лиувилля в этих обозначениях записывается в виде:

(10)

Из уравнения (10) следует, что интеграл от функции fN по всем координатам и скоростям является постоянным во времени. Поэтому функцию fN можно нормировать следующим образом:

(11)

После такого формального введения уравнения Лиувилля мы должны дать физическую интерпретацию понятия ансамбля. Среди авторов, обсуждавших эту проблему в литературе, до сих пор имеются некоторые разногласия, в особенности эти разногласия касаются известной эргодической теоремы [2]. Мы не хотим здесь вдаваться в подробности этой весьма бесплодной дискуссии, тем более что недавно были высказаны некоторые сомнения в применимости этой теоремы к реальным физическим системам [З]. Мы будем считать, что для макроскопического наблюдателя невозможно по одному измерению получить сведения о системе, первоначальное состояние которой определено
«макроскопически» (мы ниже вернемся еще к понятию «макроскопическое определение»). Единственное, что можно предсказать, это средний результат на основе большого числа измерений, полученных для одной и той же макроскопической системы. Предположим, что это среднее значение имеет вес, равный функции распределения fN . Эта функция для момента времени t=0 должна быть построена так, чтобы она согласовывалась с имеющейся макроскопической информацией о системе. Однако вследствие большого числа частиц в системе результат любого измерения будет очень близок к среднему значению измеряемой величины для ансамбля (ошибка приблизительно порядка N-
1). Последнее утверждение никогда не доказывается, но является вполне естественным.

Из этого обсуждения можно сделать следующий вывод: наблюдаемое значение любой макроскопической динамической вeличины есть среднее значение соответствующей микроскопической величины с весом fN:

(12)

Заметим теперь, что информация, заключенная в fN , в действительности оказы-вается излишней. Для всех величин, характеризующих макроскопическое состояние системы, таких, как плотность, гидродинамическая скорость и т. д., величина А (х, v) является функцией положения и скорости очень небольшого числа частиц (скажем, одной, двух и т. д.) по сравнению с полным числом частиц системы. Поэтому весом для функции А в (12) в действительности является интеграл от fN , по всем частицам, за исключением тех, от которых зависит А. Такие интегралы называются приве-денными, s- частичными функциями распределения. Определяются они формулой:

(13)

Множитель N!/(N-s)! является удобным по следующим причинам. Если интерпретировать fN как вероятность, то функция fs определенная без такого множителя, соответствовала бы вероятности нахождения определенной частицы 1 в точке (x1,v1), частицы 2 в точке (x2,v2) и т. д. Однако в больших физических системах из одинаковых частиц все частицы равноправны; данные макроскопические свойства определяются набором частиц в целом независимо от их нумерации. Поэтому удобно умножать интеграл от функции fN на такой множитель, который представлял бы число способов выбора s частиц из полного числа частиц N.
Наиболее важные макроскопические величины выражаются через эти функции так [4, 5]:
Плотность в точке x

(14)

Локальная (гидродинамическая) скорость в точке х

(15)

Локальная плотность энергии в точке x

(16)

Корреляция плотности между точками x и x’

(17)

В дальнейшем будут определены другие средние величины:

В многокомпонентных системах необходимо дополнительно определить приведенные функции распределения. В системе, состоящей из s компонент, имеется s типов одночастичных распределений:

Это обозначение, очевидно, относится к частице 1 типа (. Аналогично имеется всего 1/2s (s + 1) типов двухчастичных распределений:

Эта функция соответствует распределению частицы 1 типа ( и частицы 2 типа
(’. Обобщение определений (14) — (16) в этом случае приводит к следующим соотношениям:

(14a)

Локальная скорость в точке х

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки