Теорема Нетер

Категория реферата: Рефераты по физике
Теги реферата: тезис, бесплатные рефераты и курсовые
Добавил(а) на сайт: Филат.

[pic] (4) включающих замену независимой переменной. Однако конкретный вид для нового выражения для действия, как функционала новых координат, зависящих от нового времени, может претерпеть при таком изменении любые изменения.

Теорема Нётер интересуется только тем случаем, когда таких изменений не происходит.

Итак, будем считать, что мы ввели совокупность зависящих от (для простоты) одного параметра ( преобразований [pic] обобщенных координат и времени.

[pic]
Используя (4), получим:

[pic] (5)

Пусть преобразования [pic] такие, что

[pic] (6) т.е. образующих однопараметрическую группу. Рассмотрим бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру [pic].

Тогда

[pic] (7)

Собственно вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании, – это разность значений [pic] новых координат в некоторый момент нового времени и значений старых координат
[pic] в соответствующий момент старого времени, т.е.

[pic]. (8)
Наряду с ними удобно ввести в рассмотрение вариации формы

[pic] (9) зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если наше преобразование затрагивает только время, а не координаты.

Для любой функции справедливо соотношение:

[pic].

Тогда между двумя введенными видами вариаций есть соотношение, которое можно получить следующим образом: вычтем из (8) уравнение (9), получим:

[pic], примем во внимание, что

[pic], тогда имеем:

[pic] (10)

Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени

[pic], в то время, как для вариаций со звездочками это, вообще говоря, неверно.

Соответствующие два вида вариаций можно ввести и для любой динамической переменной. Например, для функции Лагранжа

[pic] (11) причем

[pic] (12) где [pic] включает дифференцирование как по явно входящему времени, так и по времени, входящему неявно, через координаты и скорости.

Потребуем теперь, чтобы интеграл действия не менялся бы при нашем преобразовании, – это и есть тот исключительный случай, который требуется условием теоремы, – т.е. чтобы было

[pic], (13) где Т' – та же область интегрирования, что и Т во втором интеграле, но выраженная через новые переменные. Тогда подставив (11) в (13), получим

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки