Упругие волны
Категория реферата: Рефераты по физике
Теги реферата: решебник по физике, реферат значение
Добавил(а) на сайт: Tihonenko.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны ( определяется выбором начал отсчета х и t. При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы ( была равной нулю. При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.
Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив
( ( t - x/v ) + ( = const
Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором
фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает
скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав
выражение (2.3), получим
откуда
Таким образом, скорость распространения волны v в уравнении (2.2) есть
скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.
Согласно (2.4) dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (2.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением
( = a cos [ ( ( t + x/v ) + ( ]
Действительно, приравняв константе фазу волны (2.5) и продифференцировав получившееся равенство, придем к соотношению из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х.
Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно х и t
вид. Для этого введем величину
которая называется волновым числом. Умножив числитель и знаменатель
выражения (2.6) на частоту v, можно представить волновое число в виде
(см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание
(2.7), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся
вдоль оси х:
( = a cos ( (t + kx + ( )
Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от
(2.8) только знаком при члене kx.
При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не
зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия
волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию
среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно
уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в
однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: a
= a0 e–?x. Соответственно уравнение плоской волны имеет следующий вид:
( = a0 e–?x cos ( (t + kx + ( )
(a0 – амплитуда в точках плоскости х = 0).
Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна (t + (. Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой
( ( t – r/ v ) = (t – kr + (
(чтобы пройти путь r, волне требуется время ? = r/v). Амплитуда колебаний в
этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается
постоянной — она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r.
Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид
( = cos ( (t + kx + ( ) где a — постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность а равна размерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно добавить множитель e–?x.
Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10)
справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При
стремлении r к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность.
Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.
§ 3. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат x, y, z углы ?, ?, ?. Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид
( = a cos ( (t + ( )
Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала
координат на расстояние l. Колебания в этой плоскости будут отставать от
колебаний (3.1) на время ? =l/v:
( = a cos [ (( t - ) + ( ] = a cos ( (t - kl + ( ).
(k = ?/v; см. формулу (2.7)).
Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для
этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1
видно, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек
поверхности равно l: nr = r cos ?= l.
Заменим в (3.2) l через nr:
( = a cos ( (t - knr + ( )
Вектор k = kn,
равный по модулю волновому числу k = 2?/? и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. Таким образом, уравнение (3.3) можно представить в виде
( ( r, t ) = a cos ( (t - kr + ( )
Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распространяющейся в направлении, определяемом волновым вектором k. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение множитель e–?l = e–? nr.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: bestreferat ru, пример дипломной работы.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата