Предыдущая страница реферата | 1  2  3

Рождение хаоса

Статистические данные, характеризующие динамику национальной экономики, говорят о неравномерности развития: темпы экономического роста изменяются во времени. Открытие Кондратьевым “длинных волн экономики” (об этом свидетельствуют периодические спады и подъемы темпов роста макроэкономических показателей приблизительно через каждые 50 лет) дало импульс для развития теории циклов, в результате чего в экономической теории были разработаны разнообразные модели, обладающие свойством цикличности. К их числу относится, например, модель Самуэльсона—Хикса, в которой колебания национального дохода объясняются единственной причиной — колебаниями совокупного спроса. Однако действие гипотезы Кейнса может и без дополнительных допущений приводить к циклической, а то и хаотической динамике переменных.

В качестве примера рассмотрим следующую модификацию упрощенной модели Кейнса, для построения которой снова вернемся к ее ключевой гипотезе. Как было сказано, традиционная, более того — общепринятая трактовка этого принципа формализуется с помощью уравнения (3). Однако из гипотезы Кейнса вовсе не следует, что значение предложения (национального дохода) в каждый последующий момент времени должно быть равно значению спроса в предыдущий момент. Строго говоря, она определяет лишь направление изменения национального дохода, поэтому более последовательной и общей является такая ее формализация: знаки приращений национального дохода и избыточного спроса совпадают. В этом случае рост национального дохода происходит, если спрос выше предложения, а снижение национального дохода — если спрос ниже предложения. Такому условию удовлетворяет не только рассмотренная модель, но и следующее, уже нелинейное, одномерное отображение:

YS(t+1) = YS(t)exp{g[YD(t)–YS(t)]}, (5)

где g > 0 — коэффициент реакции экономики на дисбаланс между спросом и предложением. Уравнение (5) может быть сведено чисто формально к уравнению Риккера, задающему итерационный процесс:

yt+1 = Aytexp(–yt). (6)

Здесь yt = qYS (t), где q = g(1 – c), A = exp(qYE).

Уравнение Риккера (6) впервые было использовано в математической биологии при анализе динамики популяций. Оно обладает свойством бифуркации удвоения периода, которое заключается в следующем: при сравнительно малых значениях бифуркационного параметра A равновесное решение уравнения устойчиво; при увеличении этого параметра равновесие нарушается — возникают циклы периода 2, 4, 8 и т.д., а при еще больших значениях бифуркационного параметра наступает детерминированный хаос. Это хорошо видно на рис.2 и рис.3 (слева), где итерационный процесс (6) изображен на плоскости при различных значениях бифуркационного параметра A с использованием графиков функций y = xAe–x и y = x. Здесь используется тот же прием, что и при рассмотрении динамики национального дохода в упрощенной модели Кейнса (см. рис.1).

Рис.2. Динамическая спираль — циклы периода 2 (слева) и 4. Здесь со временем устанавливаются циклы: переменная yt принимает последовательно значения y1 и y2 (в первом случае) или значения y1, y2, y3 и y4 (во втором). Переходы при итерационном процессе показаны цветом.

Рис.3. Детерминированный хаос. Слева изображена фазовая диаграмма, характеризующая динамику переменной yt. Справа — соответствующее изменение yt во времени.

Рассмотрим внимательно рис.3 (справа), где показана динамика переменной yt на небольшом временном промежутке. У читателя может сложиться впечатление, что здесь переменная yt изменяется случайным образом, хаотично. Но так как динамика системы описывается детерминированным уравнением (6), эту особенность стали называть детерминированным хаосом.

Для иллюстрации свойства бифуркации удобно использовать бифуркационные диаграммы, которые в случае одномерного отображения представляют собой множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям бифуркационного параметра, а ординаты — установившимся значениям рассматриваемой переменной (рис.4). На рисунке видно, как по мере роста параметра A меняется характер решения. Сначала решение соответствует состоянию равновесия, затем становится периодическим, с циклическими колебаниями переменной yt между двумя значениями (кривая “раздваивается”), и, наконец, переходит к детерминированному хаосу (тонированная область на диаграмме).

До сих пор мы говорили об одномерном отображении, которое возникало при моделировании динамики национального дохода в духе упрощенной модели Кейнса. Однако макроэкономика — сложная система, и ее развитие характеризуется многими переменными. Мы разработали различные нелинейные динамические модели, в которых рассматривалась динамика ряда макропеременных, в том числе ставки процента и уровня цен. Естественно, что усложнение объекта исследования (в частности, учет взаимовлияния товарного и денежного рынков) приводило к усложнению модели: увеличивалась не только размерность отображения, но и число бифуркационных параметров.

Выполненные нами вычислительные эксперименты свидетельствуют: при увеличении размерности модели усложняется поведение рассматриваемой динамической системы, что видно из сравнения рис.4 и 5. Однако основное свойство одномерного отображения (6) — свойство бифуркации — также присуще построенным двумерному и трехмерному точечным отображениям, моделирующим взаимовлияние конечного продукта, уровня цен и ставки процента. Здесь, как и в одномерном случае, состояние равновесия макроэкономической системы сменяется циклами периодов 2, 4, 8 и т.д., которые переходят в область хаоса; хаотичное изменение сменяется на циклическое с периодами 5, 6 и выше, после чего период может снизиться, потом снова возможно хаотическое поведение и т.д. При этом область устойчивости равновесного решения достаточно узкая (см. рис.5).

Рис.4. Бифуркационная диаграмма одномерного отображения (6) и ее увеличенный фрагмент (справа). По оси абсцисс откладываются значения параметра A, по оси ординат — значения переменной yt при 4900

Скачали данный реферат: Dina, Чернявский, Максима, Мирон, Revjagin, Dudnik, Lobachjov.
Последние просмотренные рефераты на тему: русский язык 7 класс изложение, конспекты по литературе, контрольные 2 класс 2 четверть, учебный реферат.

Предыдущая страница реферата | 1  2  3

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки