Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

2.5.Метод Эйлера.

Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0. (2.5.1)
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции
У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов.
Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (2.5.1) с начальным условием x=x0, y(x0)=y0 (2.5.2)
Требуется найти решение уравнения (2.5.1) на отрезке [а,b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(хi)(yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).
При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (2.5.1), которая проходит через точку Мi. Если правая часть уравнения (2.5.1) в некотором прямоугольнике R(a, удовлетворяет условиям:

|f(x, y1)- f(x, y2)| ( N|y1- y2| (N=const), (2.5.3)

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| ( M (M=const), то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(xn)-yn| ( hM/2N[(1+hN)n-1],

(2.5.4) где у(хn)-значение точного решения уравнения (2.5.1) при х=хn, а уn- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.
Формула (13) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой

|yn-y(xn)|(|yn*-yn|.

(2.5.5)

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера
Рассмотрим дифференциальное уравнение (2.5.1) y/=f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей.
На малом участ интегральную кривую заменим прямой линией.

[pic]

Рис.1 Метод Эйлера в графическом видa

Получаем точку Мк(хк,ук). Через Мк проводим касательную: у=ук=f(xk,yk)(x- xk). Делим отрезок (хк,хк1) пополам: xNk/=xk+h/2=xk+1/2

(2.5.6)

yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2
Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную: y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=?k

(2.5.7)
Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом ?к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда: ук+1=ук+?кh xk+1=xk+h

(2.5.8) ?k=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2) yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h
(2.5.8)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.

Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),

(2.5.9) где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.
Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков.
Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена: y/=z

(2.5.10) z/=f(x,y,z)
Тем самым преобразуются начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.
(2.5.12)

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: культурология, конспект изложения.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки