Предыдущая страница реферата | 35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45 | Следующая страница реферата

Next link

Loop
End Sub

Наименьшие остовные деревья

Если задана сеть с ценой связей, то наименьшим остовным деревом (minimal spanning tree) называется остовное дерево, в котором суммарная цена всех связей в дереве будет наименьшей. Наименьшее остовное дерево можно использовать, чтобы связать все узлы в сети путем с наименьшей ценой.
Например, предположим, что требуется разработать телефонную сеть, которая должна соединить шесть городов. Можно проложить магистральный кабель между всеми парами городов, но это будет неоправданно дорого. Меньшую стоимость будет иметь решение, при котором города будут соединены связями, которые содержатся в наименьшем остовном дереве. На рис. 12.5 показаны шесть городов, каждые два из которых соединены магистральным кабелем. Жирными линиями нарисовано наименьшее остовное дерево.
Заметьте, что сеть может иметь несколько наименьших остовных деревьев. На рис. 12.6 показаны два изображения сети с двумя различными наименьшими остовными деревьями, которые нарисованы жирными линиями. Полная цена обоих деревьев равна 32.

@Рис. 12.5. Магистральные телефонные кабели, связывающие шесть городов

========320

@Рис. 12.6. Два различных наименьших остовных дерева для одной сети

Существует простой алгоритм поиска наименьшего остовного дерева для сети.
Вначале поместим в остовное дерево любой узел. Затем найдем связь с наименьшей ценой, которая соединяет узел в дереве с узлом, который еще не помещен в дерево. Добавим эту связь и соответствующий узел в дерево. Затем эта процедура повторяется до тех пор, пока все узлы не окажутся в дереве.
Этот алгоритм похож на эвристику восхождения на холм, описанную в 8 главе.
На каждом шаге оба алгоритма изменяют решение, пытаясь его максимально улучшить. Алгоритм остовного дерева на каждом шаге выбирает связь с наименьшей ценой, которая добавляет новый узел в дерево. В отличие от эвристики восхождения на холм, которая не всегда находит наилучшее решение, этот алгоритм гарантированно находит наименьшее остовное дерево.
Подобные алгоритмы, которые находят глобальный оптимум, при помощи серии локально оптимальных приближений называются поглощающими алгоритмами(greedy algorithms). Можно представлять себе поглощающие алгоритмы как алгоритмы типа восхождения на холм, не являющиеся при этом эвристиками — они гарантированно находят наилучшее возможное решение.
Алгоритм наименьшего остовного дерева использует коллекцию для хранения списка связей, которые могут быть добавлены к остовному дереву. Вначале алгоритм помещает в этот список связи корневого узла. Затем проводится поиск связи с наименьшей ценой в этом списке. Чтобы максимально ускорить поиск, программа может использовать приоритетную очередь типа описанной в 9 главе. Или наоборот, чтобы упростить реализацию, программа может использовать для хранения списка возможных связей коллекцию.
Если узел на другом конце связи еще не находится в остовном дереве, то программа добавляет его и соответствующую связь в дерево. Затем она добавляет связи, выходящие из нового узла, в список возможных узлов.
Алгоритм использует флаг Used в классе link, чтобы определить, попадала ли эта связь ранее в список возможных связей. Если да, то она не заносится в этот список снова.
Может оказаться, что список возможных связей опустеет до того, как все узлы будут добавлены в остовное дерево. В этом случае сеть является несвязной, и не существует путь, который связывает корневой узел со всеми остальными узлами сети.

=========321

Private Sub FindSpanningTree(root As SpanNode)
Dim candidates As New Collection
Dim to_node As SpanNode
Dim link As SpanLink
Dim i As Integer
Dim best_i As Integer
Dim best_cost As Integer
Dim best_to_node As SpanNode

If root Is Nothing Then Exit Sub

' Сбросить флаг Marked для всех узлов и флаги

' Used и InSpanningTree для всех связей.

ResetSpanningTree

' Начать с корня остовного дерева. root.Marked = True

Set best_to_node = root

Do

' Добавить связи последнего узла в список

' возможных связей.

For Each link In best_to_node.Links

If Not link.Used Then candidates.Add link link.Used = True

End If

Next link

' Найти самую короткую связь в списке возможных

' связей, которая ведет к узлу, которого еще нет

' в дереве. best_i = 0 best_cost = INFINITY i = 1

Do While i 0

' Найти ближайший к корню узел-кандидат. best_dist = INFINITY

For i = 1 To candidates.Count new_dist = candidates(i).Dist

If new_dist < best_dist Then best_i = i best_dist = new_dist

End If

Next i

' Добавить узел к дерева кратчайшего маршрута.

Set node = candidates(best_i) candidates.Remove best_i node.NodeStatus = WAS_IN_LIST

' Проверить соседние узлы.

For Each link In node.Links

If node Is link.Node1 Then

Set to_node = link.Node2

Else

Set to_node = link.Node1

End If

If to_node.NodeStatus = NOT_IN_LIST Then

' Узел раньше не был в списке возможных

' узлов. Добавить его в список. candidates.Add to_node to_node.NodeStatus = NOW_IN_LIST to_node.Dist = best_dist + link.Cost

Set to_node.InLink = link

ElseIf to_node.NodeStatus = NOW_IN_LIST Then

' Узел находится в списке возможных узлов.

' Обновить значения его полей Dist и inlink,

' если это необходимо. new_dist = best_dist + link.Cost

If new_dist < to_node.Dist Then to_node.Dist = new_dist

Set to_node.InLink = link

End If

End If

Next link

Loop

GotPathTree = True

' Пометить входящие узлы, чтобы их было проще вывести на экран.

For Each node In Nodes

If Not (node.InLink Is Nothing) Then _ node.InLink.InPathTree = True

Next node

' Перерисовать сеть.

DrawNetwork
End Sub

Важно, чтобы алгоритм обновлял поля InLink и Dist только для узлов, в которых поле NodeStatus равно NOW_IN_LIST. Для большинства сетей нельзя получить более короткий путь, добавляя узлы, которые не находятся в списке возможных узлов. Тем не менее, если сеть содержит цикл, полная длина которого отрицательна, алгоритм может обнаружить, что можно уменьшить расстояние до некоторых узлов, которые уже находятся в дереве кратчайшего маршрута, при этом две ветви дерева кратчайшего маршрута окажутся связанными друг с другом, так что оно перестанет быть деревом.
На рис. 12.10 показана сеть с циклом отрицательной цены и «дерево» кратчайшего маршрута, которое получилось бы, если бы алгоритм обновлял цену узлов, которые уже находятся в дереве.

=======329

@Рис. 12.10. Неправильное «дерево» кратчайшего маршрута для сети с циклом отрицательной цены

Программа PathS использует этот алгоритм установки меток для вычисления кратчайшего маршрута. Она аналогична программам NetEdit и Span. Если вы не вставляете или не удаляете узел или связь, то можно выбрать узел при помощи мыши и программа при этом найдет и выведет на экран дерево кратчайшего маршрута с корнем в этом узле. На рис. 12.11 показано окно программы PathS с деревом кратчайшего маршрута с корнем в узле 3.

@Рис. 12.11. Дерево кратчайшего маршрута с корнем в узле 3

=======330

Варианты метода установки меток

Узкое место этого алгоритма заключается в поиске узла с наименьшим значением поля Dist в списке возможных узлов. Некоторые варианты этого алгоритма используют другие структуры данных для хранения списка возможных узлов. Например, можно было бы использовать упорядоченный связный список.
При использовании этого метода потребуется только один шаг для того, чтобы найти следующий узел, который будет добавлен к дереву кратчайшего маршрута.
Этот список будет всегда упорядоченным, поэтому узел на вершине списка всегда будет искомым узлом.
Это облегчит поиск нужного узла в списке, но усложнит добавление узла в него. Вместо того чтобы просто помещать узел в начало списка, его придется поместить в нужную позицию.
Иногда также требуется перемещать узлы в списке. Если в результате добавления узла в дерево кратчайшего маршрута уменьшилось кратчайшее расстояние до другого узла, который уже был в списке, то нужно переместить этот элемент ближе к вершине списка.
Предыдущий алгоритм и этот его новый вариант представляют собой два крайних случая управления списком возможных узлов. Первый алгоритм совсем не упорядочивает список и тратит достаточно много времени на поиск узлов в сети. Второй тратит много времени на поддержание упорядоченности списка, но может очень быстро выбирать из него узлы. Другие варианты используют промежуточные стратегии.
Например, можно использовать для хранения списка возможных узлов приоритетную очередь на основе пирамид, тогда можно будет просто выбрать следующий узел с вершины пирамиды. Вставка нового узла в пирамиду и ее переупорядочение будет выполняться быстрее, чем аналогичные операции для упорядоченного связного списка. Другие стратегии используют сложные схемы организации блоков для того, чтобы упростить поиск возможных узлов.
Некоторые из этих вариантов достаточно сложны. Из-за этой их сложности эти алгоритмы для небольших сетей часто выполняются медленнее, чем более простые алгоритмы. Тем не менее, для очень больших сетей или сетей, в которых каждый узел имеет очень большое число связей, выигрыш от применения этих алгоритмов может стоить дополнительного усложнения.

Коррекция меток

Как и алгоритм установки меток, этот алгоритм начинает с обнуления значения поля Dist корневого узла и помещает корневой узел в список возможных узлов.
При этом значения полей Dist остальных узлов устанавливаются равными бесконечности. Затем для вставки в дерево кратчайшего маршрута выбирается первый узел в списке возможных узлов.
После этого алгоритм проверяет узлы, соседние с выбранным, выясняя, будет ли расстояние от корня до выбранного узла плюс цена связи меньше, чем текущее значение поля Dist соседнего узла. Если это так, то поля Dist и
InLink соседнего узла обновляются так, чтобы кратчайший маршрут к соседнему узлу проходил через выбранный узел. Если соседний узел при этом не находился в списке возможных узлов, то алгоритм также добавляет его к списку. Заметьте, что алгоритм не проверяет, попадал ли этот узел в список раньше. Если путь от корня до соседнего узла становится короче, узел всегда добавляется в список возможных узлов.
Алгоритм продолжает удалять узлы из списка возможных узлов, проверяя соседние с ними узлы и добавляя соседние узлы в список до тех пор, пока список не опустеет.
Если внимательно сравнить алгоритмы установки меток и коррекции меток, то видно, что они похожи. Единственное отличие заключается в том, как каждый из них выбирает элементы из списка возможных узлов для вставки в дерево кратчайшего маршрута.

=====331

Алгоритм установки меток всегда выбирает связь, которая гарантированно находится в дереве кратчайшего маршрута. При этом после того, как узел удаляется из списка возможных узлов, он навсегда помещается в дерево и больше не попадает в список возможных узлов.
Алгоритм корректировки всегда выбирает первый узел из списка возможных узлов, который не всегда может быть наилучшим выбором. Значения полей Dist и InLink этого узла могут быть не наилучшими из возможных. В этом случае алгоритм, в конце концов, найдет в списке узел, через который проходит более короткий путь к выбранному узлу. Тогда алгоритм обновляет поля Dist и
InLink и снова помещает обновленный узел в список возможных узлов.
Алгоритм может использовать новый путь для создания других путей, которые он мог пропустить раньше. Помещая обновленный узел снова в список обновленных узлов, алгоритм гарантирует, что этот узел будет проверен снова и будут найдены все такие пути.

Private Sub FindPathTree(root As PathCNode)
Dim candidates As New Collection
Dim node_dist As Integer
Dim new_dist As Integer
Dim node As PathCNode
Dim to_node As PathCNode
Dim link As PathCLink

If root Is Nothing Then Exit Sub

' Сбросить поля Marked и NodeStatus для всех узлов,

' и флаги Used и InPathTree для всех связей.

ResetPathTree

' Начать с корня дерева кратчайшего маршрута. root.Dist = 0

Set root.InLink = Nothing root.NodeStatus = NOW_IN_LIST candidates.Add root

Do While candidates.Count > 0

' Добавить узел в дерево кратчайшего маршрута.

Set node = candidates(1) candidates.Remove 1 node_dist = node.Dist node.NodeStatus = NOT_IN_LIST

' Проверить соседние узлы.

For Each link In node.Links

If node Is link.Node1 Then

Set to_node = link.Node2

Else

Set to_node = link.Node1

End If

' Проверить, существует ли более короткий

' путь через этот узел. new_dist = node_dist + link.Cost

If to_node.Dist > new_dist Then

' Путь лучше. Обновить значения Dist и InLink.

Set to_node.InLink = link to_node.Dist = new_dist

' Добавить узел в список возможных узлов,

' если его там еще нет.

If to_node.NodeStatus = NOT_IN_LIST Then candidates.Add to_node to_node.NodeStatus = NOW_IN_LIST

End If

End If

Next link

Loop

' Пометить входящие связи, чтобы их было проще вывести.

For Each node In Nodes

If Not (node.InLink Is Nothing) Then _ node.InLink.InPathTree = True

Next node

' Перерисовать сеть.

DrawNetwork
End Sub

В отличие от алгоритма установки меток, этот алгоритм не может работать с сетями, которые содержат циклы с отрицательной ценой. Если встречается такой цикл, то алгоритм бесконечно перемещается по связям внутри него. При каждом обходе цикла расстояние до входящих в него узлов уменьшается, при этом алгоритм снова помещает узлы в список возможных узлов, и снова может проверять их в дальнейшем. При следующей проверке этих узлов, расстояние до них также уменьшится, и так далее. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока расстояние до этих узлов не достигнет нижнего граничного значения
-32.768, если длина пути задана целым числом. Если известно, что в сети имеются циклы с отрицательной ценой, то проще всего просто использовать для работы с ней метод установки, а не коррекции меток.
Программа PathC использует этот алгоритм коррекции меток для вычисления кратчайшего маршрута. Она аналогична программе PathS, но использует метод коррекции, а не установки меток.

=======333

Варианты метода коррекции меток

Алгоритм коррекции меток позволяет очень быстро выбрать узел из списка возможных узлов. Он также может вставить узел в список всего за один или два шага. Недостаток этого алгоритма заключается в том, что когда он выбирает узел из списка возможных узлов, он может сделать не слишком хороший выбор. Если алгоритм выбирает узел до того, как его поля Dist и
InLink получат свои конечный значения, он должен позднее скорректировать значения этих полей и снова поместить узел в список возможных узлов. Чем чаще алгоритм помещает узлы назад в список возможных узлов, тем больше времени это занимает.
Варианты этого алгоритма пытаются повысить качество выбора узлов без большого усложнения алгоритма. Один из методов, который неплохо работает на практике, состоит в том, чтобы добавлять узлы одновременно в начало и конец списка возможных узлов. Если узел раньше не попадал в список возможных узлов, алгоритм, как обычно, добавляет его в конец списка. Если узел уже был раньше в списке возможных узлов, но сейчас его там нет, алгоритм вставляет его в начало списка. При этом повторное обращение к узлу выполняется практически сразу, возможно при следующем же обращении к списку.
Идея, заключенная в таком подходе, состоит в том, чтобы если алгоритм совершает ошибку, она исправлялась как можно быстрее. Если ошибка не будет исправлена в течение достаточно долгого времени, алгоритм может использовать неправильную информацию для построения длинных ложных путей, которые затем придется исправлять. Благодаря быстрому исправлению ошибок, алгоритм может уменьшить число неверных путей, которые придется перестроить. В наилучшем случае, если все соседние узлы все еще находятся в списке возможных узлов, повторная проверка этого узла до проверки соседей предотвратит построение неверных путей.

Другие задачи поиска кратчайшего маршрута

Описанные выше алгоритмы поиска кратчайшего маршрута вычисляли все кратчайшие пути из корневого узла до всех остальных узлов в сети.
Существует множество других типов задачи нахождения кратчайшего маршрута. В этом разделе обсуждаются три из них: двухточечный кратчайший маршрут (point- to-point shortest path), кратчайший маршрут для всех пар(all pairs shortest path) и кратчайший маршрут со штрафами за повороты.

Двухточечный кратчайший маршрут

В некоторых приложениях может понадобиться найти кратчайший маршрут между двумя точками, при этом остальные пути в полном дереве кратчайшего маршрута не важны. Простой способ решить эту задачу — вычислить полное дерево кратчайшего маршрута при помощи метода установки или коррекции меток, а затем выбрать из дерева кратчайший путь между двумя точками.
Другой способ заключается в использовании метода установки меток, который останавливался бы, когда будет найден путь к конечному узлу. Алгоритм установки меток добавляет к дереву кратчайшего маршрута только те пути, которые обязательно должны в нем находиться, следовательно, в тот момент, когда алгоритм добавит конечный узел в дерево, будет найден искомый кратчайший маршрут. В алгоритме, который обсуждался раньше, это происходит, когда алгоритм удаляет конечный узел из списка возможных узлов.

=======334

Единственное изменение требуется внести в часть алгоритма установки меток, которая выполняется сразу же после того, как алгоритм находит в списке возможных узлов узел с наименьшим значением Dist. Перед удалением узла из списка возможных узлов, алгоритм должен проверить, не является ли этот узел искомым. Если это так, то дерево кратчайшего маршрута уже содержит кратчайший маршрут между начальным и конечным узлами, и алгоритм может закончить работу.

' Найти ближайший к корню узел в списке возможных узлов.

:

' Проверить, является ли этот узел искомым.
If node = destination Then Exit Do

' Добавить этот узел в дерево кратчайшего маршрута.

:

На практике, если две точки в сети расположены далеко друг от друга, то этот алгоритм обычно будет выполняться дольше, чем займет вычисление полного дерева кратчайшего маршрута. Алгоритм выполняется медленнее из-за того, что в каждом цикле выполнения алгоритма проверяется, достигнут ли искомый узел. С другой стороны, если узлы расположены рядом, то выполнение этого алгоритма может потребовать намного меньше времени, чем построение полного дерева кратчайшего маршрута.
Для некоторых сетей, таких как сеть улиц, можно оценить, насколько близко расположены две точки, и затем решить, какую версию алгоритма выбрать. Если сеть содержит все улицы южной Калифорнии, и две точки расположены на расстоянии 10 миль, следует использовать версию, которая останавливается после того, как найдет конечный узел. Если же точки удалены друг от друга на 100 миль, возможно, меньше времени займет вычисление полного дерева кратчайшего маршрута.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад по химии, конспект зима.



Предыдущая страница реферата | 35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки