Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Проведем разложение левых частей уравнений (1) в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:
F1(x1,x2,...xn) »F1(a1,...an)+[pic]

F2(x1,x2,...xn) »F2(a1,...an)+[pic]
..............................................
Fn(x1,x2,...xn) »Fn(a1,...an)+[pic].

Поскольку в соответствии с (1) левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то приравняем нулю и правые части. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений:

[pic]=-F1

[pic]=-F2 (2)
............................
[pic]=-Fn
Значения F1,F2,...,Fn и их производные вычисляются при x1=a1, x2=a2,...xn=an.

Определителем системы (2) является якобиан:

J= [pic]

Для существования единственного решения системы (2) он должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений (1) методом Ньютона состоит в определении приращений Dx1, Dx2,... Dxn, к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине: max| Dxi|< e. В методе

i
Ньютона также важен выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы.

В качестве примера рассмотрим использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений

F1(x,y)=0, (3)

F2(x,y)=0.
Пусть приближенные значения неизвестных равны a,b. Предположим, что якобиан системы (3) при x=a; y=b отличается от нуля, т.е.:

J=[pic]№0.
Тогда следующие приближения неизвестных можно аписать в виде

x=a-[pic](F1[pic]

[pic]

Величины, стоящие в правой части, вычисляются при x=a, y=b.

При программировании данного метода в качестве исходных данных задаются начальные приближения неизвестных a,b, погрешности e. Если итерации сойдутся, то выводятся значения x,y; в противном случае происходит вывод x,y по мере работы программы до прерывания ее пользователем.

Метод простой итерации.

Систему уравнений (1) представим в виде x1=f1(x1...xn), x2=f2(x1...xn), (4)

............. xn=fn(x1...xn).
Алгоритм решения этой системы методом простой итерации напоминает метод
Гаусса - Зейделя, используемый для решения систем линейных уравнений.

Пусть в результате предыдущей итерации получены значения неизвестных x1=a1, x2=a2,..., xn=an. Тогда выражения для неизвестных на следующей итерации имеют вид

x1=f1(a1,a2,...,an), x2=f2(x1,a2,...,an),

.................. xi=fi(xi,...,xi-1,ai,...,an),

.................. xn=fn(x1,...,xn-1,an).

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат металлы, решебник 6 класс виленкин.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки