Нечеткие множества в системах управления

Категория реферата: Рефераты по логике
Теги реферата: реферат по истории, сочинение татьяна
Добавил(а) на сайт: Radostin.

Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 | Следующая страница реферата

Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.0} ? x?E.
Элементы x?E, для которых ?A(x)=0,5 называются точками перехода множества
A.

Примеры нечетких множеств

Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: "несколько" =
0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.
Пусть E = {0,1,2,3,...,n,...}. Нечеткое множество "малый" можно определить:
"малый" = [pic].
Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое множество "молодой", может быть определено с помощью
?"молодой"(x) = [pic].
Нечеткое множество "молодой" на универсальном множестве E' ={Иванов,
Петров, Сидоров,...} задается с помощью функции принадлежности
?"молодой"(x) на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:
?"молодой"(Сидоров):= ?"молодой"(x), где x - возраст Сидорова.
Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} - множество марок автомобилей, а E' = [0,?) - универсальное множество "стоимость", тогда на E' мы можем определить нечеткие множества типа: "для бедных", "для среднего класса",
"престижные", с функциями принадлежности типа:

[pic]

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из E в данный момент времени, мы тем самым определим на E' нечеткие множества с этими же названиями.
Так, например, нечеткое множество "для бедных", заданное на универсальном множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} выглядит следующим образом:

[pic]

Аналогично можно определить Нечеткое множество "скоростные", "средние",
"тихоходные" и т.д.

О методах построения функций принадлежности нечетких множеств

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает ?A(x)?
[0,1], формируя векторную функцию принадлежности { ?A(x1), ?A(x2),...
?A(x9)}.
При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: "этот человек лысый" или "этот человек не лысый", тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение ? "лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).
Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, ?A(xi) = wi, i=1,2,...,n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {aij}, где aij=wi/wj (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали aij = 1/aij, т.е. если один элемент оценивается в ? раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/? раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида Аw = ?maxw, где ?max - наибольшее собственное значение матрицы A.
Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Операции над нечеткими множествами

Включение.
Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.
Говорят, что A содержится в B, если ?x ?E ?A(x) ?B(x).
Обозначение: A ? B.
Иногда используют термин "доминирование", т.е. в случае когда A ? B, говорят, что B доминирует A.
Равенство.
A и B равны, если ?x?E ?A(x) = ?B (x).
Обозначение: A = B.
Дополнение.
Пусть ? = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если
?x?E ?A(x) = 1 - ? B(x).
Обозначение: B = [pic]или A = [pic].
Очевидно, что [pic]= A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).
Пересечение.
A?B - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.
?A?B(x) = min( ?A(x), ? B(x)).
Объединение.
А ? В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:
?A? B(x) = max(?A(x), ? B(x)).
Разность.
А - B = А?[pic] с функцией принадлежности:
?A-B(x) = ?A ?[pic] (x) = min( ?A(x), 1 - ? B(x)).
Дизъюнктивная сумма.
А?B = (А - B)?(B - А) = (А ?[pic]) ?([pic]? B) с функцией принадлежности:
?A-B(x) = max{[min{? A(x), 1 - ?B(x)}];[min{1 - ?A(x), ?B(x)}] }
Примеры.
Пусть:
A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;
B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;
C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.
Здесь:
A?B, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.
A ? B ? C.
[pic]= 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;
[pic]= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.
A?B = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.
А?В = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.
А - В = А? [pic]= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;
В - А = [pic]? В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
А ? В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения ?A(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы
E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств).
Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

[pic]

[pic] [pic] [pic]

На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На нижней - даны [pic], A? [pic], A?
[pic].

Свойства операций ? и ?.

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:
[pic]- коммутативность;
[pic]- ассоциативность;
[pic]- идемпотентность;
[pic]- дистрибутивность;
A?? = A, где ? - пустое множество, т.е. ??(x) = 0 ?>x?E;
A?? = ?;
A?E = A, где E - универсальное множество;
A?E = E;
[pic]- теоремы де Моргана.
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:
A?[pic] ? ?,
A?[pic] ? E.
(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).
Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и", "или", "не".
Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.
Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция
T:[0,1]Ч[0,1]>[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:
T(0,0)=0; T(?A, 1) = ?A; T(1, ? A) = ?A - ограниченность;
T(?A, ?B) ?T(?C, ?D), если ?A??C , ?B??D - монотонность;
T(?A , ? B) = T(?B, ?A) - коммутативность;
T(?A, T(? B, ?C))= T( T(?A, ?B), ?C) - ассоциативность;
Простым случаем треугольных норм являются: min(?A , ? B) произведение ?A??B max(0, ?A + ? B -1).
Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная действительная функция ?:[0,1]Ч[0,1]> [0,1], со свойствами:
T(1,1) = 1; T(?A ,0) = ? A ; T(0, ? A) = ?A - ограниченность;
T(?A, ?B )? T(?C, ?D ), если ?A ??C , ?B ??D - монотонность;
T(?A , ?B ) = T(?B , ?A ) - коммутативность;
T(?A, T(?B , ?C )) = T(T(?A , ?B ), ?C ) - ассоциативность.
Примеры t-конорм: max(?A, ? B)
?A + ?B - ?A? ?B min(1, ?A + ?B).

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение A и B обозначается A?B и определяется так:
?x?E ?A?B (x) = ?A(x)?B(x).
Алгебраическая сумма этих множеств обозначается [pic]и определяется так:
?x?E [pic]= ? A(x) + ?B(x)-?A(x)?B(x).
Для операций {?, [pic]} выполняются свойства:
[pic]- коммутативность;
[pic]- ассоциативность;
A?? = ?, A[pic]? = A, A?E = A, A[pic]E = E
[pic]- теоремы де Моргана.
Не выполняются:
[pic]- идемпотентность;
[pic]- дистрибутивность; а также A?[pic] = ?, A[pic] [pic]= E.
Замечание. Доказательства приводимых свойств операций над нечеткими множествами мы оставляем читателю.
Для примера докажем свойство: [pic]. Обозначим ?A(x) через a, ?B(x) через b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1-ab, а в правой: (1- a)+(1-b)-(1-a)(1-b) = 1-a+1-b-1+a+b-ab = 1-ab.
Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. A?(B[pic]C) ?
(A?B)[pic](A?C). Для левой части имеем: a(b+c-bc) = ab+ac-abc; для правой: ab+ac-(ab)(ac) = ab+ac+a2bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a?a2.
Замечание. При совместном использовании операций {?, ?,+,?} выполняются свойства:
А?(B?C) = (A?B)?(A ? C);
А? (B?C) = (A?B)?(A?C);
А[pic](B?C) = (A[pic]B)?(A[pic]C);
А[pic](B?C)=(A[pic]B)?(A[pic]C).
Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.
На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере для целых
? эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень ? нечеткого множества A, где ? - положительное число. Нечеткое множество A? определяется функцией принадлежности ?A? = ??A(x). Частным случаем возведения в степень являются:
CON(A) = A2 - операция концентрирования,
DIL(A) = A0,5 - операция растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

[pic]

Умножение на число. Если ? - положительное число, такое, что ?[pic]?
A(x)?1, то нечеткое множество ?A имеет функцию принадлежности:
??A(x) = ??A(x).
Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A1, A2,.., An - нечеткие множества универсального множества E, а ?1, ?2, ..., ?n - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.
Выпуклой комбинацией A1, A2,.., An называется нечеткое множество A с функцией принадлежности:
?x?E ?A(x1, x1,..., xn) = ?1?A1(x) + ?2?A2(x) + ... + ?n?Ai(x).
Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A1, A2, ..., An - нечеткие подмножества универсальных множеств E1, E2, ..., En соответственно.
Декартово произведение A = A1ЧA2 Ч ...ЧAn является нечетким подмножеством множества E = E1ЧE2 Ч ...ЧEn с функцией принадлежности:
?A(x1, x1, ..., xn) = min{ ?A1(x1), ?A2(x2) , ... , ?Ai(xn) }.
Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.
Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех x?E определены нечеткие множества K(х). Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:
Ф(A, K) = [pic]?A (x)K(х), где ?A(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество.

Пример:
E = {1,2,3,4};
A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;
K(1) = 1/1+0,4/2;
K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;
K(3) = 1/3+0,5/4;
K(4) = 1/4.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: шпори, сочинение татьяна.

Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 | Следующая страница реферата

Рефераты | Рефераты по логике | Нечеткие множества в системах управления

Нечеткие множества в системах управления

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки

Категории:

Разделы сайта