Алгебраическая проблема собственных значений
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: ответы 7 класс, конспект урока 7 класс
Добавил(а) на сайт: Izjaslav.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата
Алгебраическая проблема собственных значений
1. Введение
Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным, значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.
Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы.
В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы определения собственных значений.
2. Некоторые основные сведения, необходимые при решении задач на собственные значения
В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом:
AX = lX,
где A — матрица размерности n х n. Требуется найти n скалярных значений l и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений.
Основные определения матричного исчисления
1. Матрица A называется симметричной, если
аij = аij, где i, j = 1, 2, . . ., n.
Отсюда следует симметрия относительно диагонали
аkk, где k == 1, 2, . . ., n.
Матрица
|
1 |
4 |
5 |
|
4 |
3 |
7 |
|
5 |
7 |
2 |
является примером симметричной.
2. Матрица A называется трехдиагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной и примыкающих к ней диагоналей, равны нулю. В общем случае трехдиагональная матрица имеет вид
|
* |
* Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: шпоры по праву, 2 класс изложение. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Следующая страница реферата Поделитесь этой записью или добавьте в закладкиКатегории: |