Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6

Пример:

Пусть z – неквадратное целое число. Найти c>0, такое, что для всех рациональных чисел  имело бы место неравенство:

.

 - корень многочлена xa-В. Деля x2-D на x-, находим g(x)=x+.

При -d<x<+d имеем , т.е. M=+d. В качестве c берем , при этом выгодней всего взять d так, что  d2+d-1=0, т.е. d=.

При таком d получаем , так что при любых целых a и b имеем: .

3.2. Трансцендентные числа Лиувилля.

Числа, являющиеся корнями уравнений с целыми коэффициентами, не исчерпывают все множество действительных чисел, т.е. существуют действительные числа отличные от алгебраических.

Определение 6: Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.

Впервые существование трансцендентных чисел доказано Лиувиллем. Доказательство существования трансцендентных чисел у Лаувилля эффективно; на основе следующей теоремы, являющейся непосредственным следствием теоремы 5, строятся конкретные примеры трансцендентных чисел.

0 существует хотя бы одна рациональная дробь , такая, что  (11), то a – трансцендентное число.

Доказательство:

0 такие, что для любой дроби  было бы , а это противоречит тому, что имеет место (11). Предположение, что a алгебраическое число, т.е. трансцендентное число. Теорема доказана.

Числа a, для которых при любых n³1 и c>0 неравенство (11) имеет решение в целых числах a и b называются трансцендентными числами Лиувилля.

Пример:

a – трансцендентное число.

Возьмем произвольные действительные n³1 и c>0. Пусть , где k выбрано настолько большим, что  и k³n, тогда

Поскольку для произвольных n³1 и c>0 можно найти дробь  такую, что , то a – трансцендентное число.

Заключение.

Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Они позволяют раскрыть вариантности алгебры для практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для средней школы.

Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел.

К этому разделу относятся вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел.

Эта работа может служить в качестве учебного пособия при изучении теории алгебраических чисел. А так же она удобна в использовании при подготовке к экзамену.

В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами. Все теоремы даны с полными доказательствами. Приведенные примеры алгебраических чисел и действий над ними, даны с доступными пояснениями и, при необходимости, с доказательством.

Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории чисел. Помимо введения, дающего общий очерк развития теории чисел, первый параграф посвящен уже конкретно развитию теории алгебраических чисел. Так же на протяжении всей работы можно наблюдать исторические комментарии.

Данная работа дает представление о современном состоянии рассматриваемого вопроса и дает представление о теории алгебраических чисел и о теории чисел вообще, как о развивающейся науке.

Скачали данный реферат: Люцина, Холопов, Милена, Жариков, Сёмин, Ivolgin.
Последние просмотренные рефераты на тему: реферат на тему отношения, реферат книга, bestreferat ru, дипломы рефераты.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки