Численные методы

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: доклад по обж, сочинение отец
Добавил(а) на сайт: Bebnev.

Помножимо (3) на ai1 та віднімемо одержане рівняння з і-го рівняння системи (4), i=2,m.

У результаті одержимо наступну систему рівнянь:

x1+c12x2+...+c1jxj+...+c1mxm =y1 ,

(1) (1) (1)

(1) a22x2+... +a2jxj+...+a2mxm=f2 ,

............................................

(5)

(1) (1) (1)

(1) am2x2+...+amjxj+...+ammxm=fm .

Tут позначено:

(1) (1) aij=aij-c1jai1; fi=fi -y1ai1; i,j=2,m .
(6)

Матриця системи (5) має вигляд:

[pic].
Матриці такої стуктури заведено позначати так:

[pic]

де хрестиками позначені ненульові елементи.

У системі (5) невідоме х міститься тільки в першому рівнянні, тому у подальшому достатньо мати справу із скороченою системою рівнянь:

(1)
(1) (1) (1) a22x2 +...+a2jxj +...+a2mxm =f2 ,

.............................................. (7)

(1) (1)
(1) (1) am2x2 +...+amjxj +...+ammxm =fm .

Тим самим ми здійснили перший крок методу Гаусса . Коли [pic], то з системи
(7) зовсім аналогічно можна вилучити невідоме x2 і прийти до системи, еквівалентній (2),що має матрицю такої структури:

[pic]
При цьому перше рівняння системи (5) залишається без зміни.
Вилучая таким же чином невідомі х 3, х4 ,... ,x m-1 , приходимо остаточно до системи рівнянь виду: x1 +c12x2 +...+c1,m-1xm-1+c1mxm =y1, x2 +...+c2,m-1xm-1+c2mxm =y2 ,

................................ xm-1+cm-1,mxm=ym-1, xm=ym
,

що еквівалентна початковій системі (2) .

Матриця цієї системи

[pic] містить нулі усюди нижче головної діагоналі. Матриці такого виду називаються верхніми трикутними матрицями. Нижньою трикутною матрицею називається така матриця, у якої дорівнюють нулю усі елементи, що містяться вище головної діагоналі.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки