
Число как основное понятие математики
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: готовые рефераты, 2 класс изложение
Добавил(а) на сайт: Рунов.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | Следующая страница реферата
Мнимым числам не было места на координатной оси. Однако ученые заметили, что
если взять действительное число b на положительной части координатной оси и умножить его
на , то получим мнимое число b
, неизвестно где расположенное. Но если это число еще раз умножить на
, то получим -b, то есть первоначальное число, но уже на отрицательной части координатной оси.
Итак, двумя умножениями на
мы
перебросили число b
с положительного в отрицательные, и ровно на середине этого броска число было
мнимым. Так нашли место мнимым числам в точках на мнимой координатной оси, перпендикулярной к середине действительной координатной оси. Точки плоскости
между мнимой и действительной осями изображают числа, найденные Кардано, которые в общем виде a
+ b·i содержат
действительные числа а и мнимые b·i в одном комплексе (составе), поэтому называются комплексными числами.
Это был 4-ый уровень обобщения чисел.
Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVII веков была построена общая теория корней n-ных степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра:
С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.
Леонард Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:
,
которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С
помощью формулы Эйлера можно было возводить число е в любую
комплексную степень. Любопытно, например, что .
Можно находить sin
и cos
комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел и т.д.
Долгое время даже математики считали комплексные числа загадочными и пользовались ими только для математических манипуляций. Так, швейцарский математик Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Чуть позже с помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, к примеру, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.
4.2. Геометрическое истолкование комплексных чисел
Около 1800-го года сразу несколько математиков (Вессель, Арган, Гаусс) поняли, что комплексными числами можно моделировать векторные величины на плоскости.
Если действительные числа (состоящие из одного элемента) одномерны – они размещаются на одной координатной оси. Комплексные числа состоят из двух элементов, для их представления необходима уже плоскость и две координатные оси. Это значит, что они двумерны.
Оказалось, что комплексное число z = a
+ b · i можно
изобразить точкой М(a,b)
на координатной плоскости. Позднее выяснили, что удобнее всего изображать число
не самой точкой М, а в виде вектора , идущего из начала координат в точку с координатами а и b. Вектор
можно
задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и
углом φ, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a = r · cos φ, b = r · sin φ и
число z
принимает вид z = r
·(cos φ + i · sin φ), который называется тригонометрической формой
комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и
обозначают
.
Число φ называют аргументом z и обозначают Arg Z. Заметим, что если z = 0, значение Arg Z не определено, а
при z
≠ 0 оно определено с точностью до кратного 2π. Упомянутая ранее формула Эйлера
позволяет записать число z
в виде z
= r · eiּφ (показательная
форма комплексного числа)
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.
5. Векторные числа
В дальнейшем стали разыскивать некие трехмерные числа, которые моделировали бы векторные величины в пространстве с его тремя координатными осями.
Бился над этой задачей и ирландский ученый Гамильтон. После 15-ти лет работы
в 1843 году Гамильтон придумал таки трехмерные числа a + bi + cj + dk, где i = j = k = и
откладываются каждый на своей оси. Такие числа - комплексные a + bi и мнимые cj и dk по двум
дополнительным осям – Гамильтон назвал кватернионами (quaterni в переводе с латыни – четыре).
Позже, в 1853 году, как вариант кватернионов, Гамильтон предложил более
удобные числа bi
+ cj + dk и назвал их
векторными числами. Они и обобщили все предыдущие числа на 5-ом уровне
обобщения.
6. Матричные числа
Алгебраические операции над векторными величинами создали многоэлементные числовые объекты, названные по предложению Эйнштейна тензорными величинами. Для их моделирования Артур Кэли в 1850 году ввел числа, в которых элементы (более трех) записывались уже квадратными и прямоугольными таблицами (матрицами) и рассматривались как единый числовой объект.
Векторные числа + тензорные величины породили матричные числа. Это был 6-ой уровень обобщения чисел.
Выделим особенность всех сложных (комплексных, векторных, матричных) чисел: они моделируют сразу два свойства – количество и направление моделируемых величин.
7. Трансфинитные числа
Наконец, в 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценив многовековую историю последовательного обобщения чисел, в которой натуральные числа были обобщены рациональными, а те в свою очередь – действительными, те – комплексными, те – векторными, те – матричными, создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных, запредельных) чисел.
Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можно
сопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются с
четными числами:Кантор
заметил, что такое множество должно содержать бесконечное число элементов. А
если эти элементы сопоставимы с множеством натуральных чисел, то их количество
образует первое трансфинитное число א0 (алеф-нуль – с иврита). Но
множество א0 тоже
бесконечно много, и они вместе, как количество элементов нового множества, образуют следующее трансфинитное число א1
. И так далее…
Такой
красивой теорией Кантор завершил обобщение чисел на 7-ом уровне. И до
настоящего времени абстрактнее ее нет: пока ничто не поглотило трансфинитные
числа. Однако правда и то, что трансфинитные числа не нашли еще
применения за пределами самой математики. История с нулем и комплексными
числами снова повторяется для трансфинитных чисел: что ими можно
моделировать? Уже больше века не знают. Может, Кантор породил красивую, но
мертвую теорию?
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат по химии, преступление реферат.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | Следующая страница реферата