Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: таможенные рефераты, шпори по физике
Добавил(а) на сайт: Трофима.
Предыдущая страница реферата | 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 | Следующая страница реферата
Метод функций Ляпунова переносится и на случай разрывной правой части системы
[pic].
(1)
Как было показано в первой главе, уравнения (1) сводятся к диф. включениям
[pic]
(2)
Для диф. включений имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая устойчивость.
Определение 1.
Решение [pic] дифференциального включения (2) называется устойчивым
(соответственно слабо устойчивым), если для каждого [pic] существует такое
[pic], что для каждого такого [pic], что [pic], каждое решение
(соответственно некоторое решение) [pic] с начальным условием [pic] при
[pic] существует и удовлетворяет неравенству
[pic] ([pic]).
Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость определяются аналогично, но с дополнительным условием [pic]
Пример 1.
[pic]([pic]). Решение [pic]асимптотически устойчиво. При [pic] любое
другое решение достигает положения равновесия x=0 за конечное время, а при
[pic] за бесконечное время.
Пример 2.
[pic], F(x) – отрезок с концами kx и mx. [pic]- решение. Для других решений имеем
[pic]
При [pic] асимптотически устойчиво, при [pic] устойчиво, при [pic] слабо асимптотически устойчиво, при [pic] неустойчиво.
Для диф. уравнений с непрерывной правой частью известны теоремы
Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости [4]. В работе
[17] сформулированы подобные теоремы для разрывных систем (1). Но для
таких уравнений функция Ляпунова V(t,x) может не принадлежать [pic].
Для функции [pic] (т.е. имеются непрерывные производныепервого порядка) определяются верхняя и нижняя производные в силу диф. включения (2):
[pic]
При почти всех t производная [pic]существует и удовлетворяет включению
(2). При этих t существует
[pic] (3)
Теорема 1.
Пусть в замкнутой области D ([pic]) для всех [pic] - непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция [pic]-непрерывна по t, x; [pic] и существуют функции [pic], для которых[pic].
Тогда:
1) Если [pic] в D, то решение [pic] включения (2) устойчиво.
2) Если, кроме того, существуют функции [pic] [pic] причем [pic],
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать бесплатно шпоры, сочинение 5 класс.
Предыдущая страница реферата | 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 | Следующая страница реферата