при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos j,
y = r sin j.
(2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
Drj = rj+1 - rj,
Dji = ji+1 - ji
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
DSi = rj Dji Drj (3)
Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos ji,
yij = rj sin ji.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji)
(3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cosj, r sinj)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)
Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S определена
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: атанасян решебник, сообщение на тему.
(1)
(4)
(5)
(6)
Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).
