Рефераты | Рефераты по математике | Эффект Казимира или проблема вакуума
Эффект Казимира или проблема вакуумаКатегория реферата: Рефераты по математике Теги реферата: конспект урока 10 класс, решебник класс по математике Добавил(а) на сайт: Воислава. Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 6 7 | Следующая страница реферата |
(h) c |
2n a |
. |
Увы, эта сумма тоже равна бесконечности. Мы хотели бы найти приращение знергии
|
Разумеется, с обыденной точки зрения вычитать из бесконечности бесконечность - совершенно абсурдная задача. Однако в чем физики поднаторели, так это в умении производить арифметические операции с бесконечностями. Для физика-теоретика, даже начинающего, вычесть из бесконечности бесконечность и при этом получить конечное число (причем наблюдаемое, экспериментально проверяемое) - раз плюнуть. Ответ в нашей задаче имеет вид
|
Метод получения этого результата, хотя и похож на фокус, удивительно прост. Для того чтобы придать смысл формальному манипулированию с бесконечностями, надо сделать сначала суммы конечными. Предположим, что очень коротких волн не бывает, т.е. в сумме по мы ограничимся только > 0. Соответственно в сумме по n придется ограничиться n < a/0. Теперь подсчитаем разность. Она станет функцией обрезки 0. Если брать все меньшие и меньшие значения 0 и построить график этой функции, то окажется, что она стремится к конечному пределу при 0 0. Такая процедура, носящая название перенормировки или регуляризации, и приводит к упомянутому выше результату.
Полученный результат - это результат "одномерной" электродинамики. Наши волны могли распространяться только в одном направлении - перпендикулярно пластинкам. На самом деле, хотя пластинки и плоские, задача трехмерная. Электромагнитные волны (даже в виде нулевых колебаний) могут распространяться в трех направлениях. Сути дела это не меняет, нужна только небольшая модификация наших расчетов.
Окончательный ответ для трехмерной задачи выглядит так:
|
где S - площадь пластинки.
Что же теперь делать с этим выражением? Ну, во-первых, очевидно, что при сближении пластинок (уменьшении a), E уменьшается (знак минус!). Следовательно, чем ближе пластинки, тем энергетически выгоднее. Вспоминайте девятый класс: потенциальная энергия U камня в поле силы тяжести на высоте x равна mgx. Опустите камень и его энергия уменьшится. Но вы-то знаете, что Земля камень притягивает! Следовательно, уменьшение потенциальной энергии при сближении тел свидетельствует об их взаимном притяжении. А как эту силу извлечь из энергии? Да очень просто. Для нашей "каменной" задачи составим разность
|
Сила mg как раз и равна U/x. В общем случае энергия в зависимости от расстояния может меняться по закону, гораздо более сложному, чем линейный. Тогда сила находится при помощи производной:
|