Формулы сложения вероятностей.

Из пункта 2 аксиомы, по которой вводилось определение вероятности события, следует, что если A1 и A2 несовместные события, то

   P() = P(A1) + P(A2)

Если A1 и A2 — совместные события, то =(A1 A2), причем очевидно, что A1A2 и A2 — несовместные события. Отсюда следует:

   P() = P(A1 A2) + P(A2)        (*)

Далее очевидно: A1=(A1 A2), причем A1 A2 и – несовместные события, откуда следует: P(A1) = P(A1 A2) + P() Найдем из этой формулы выражение  для P(A1 A2) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:

   P()= P(A1) + P(A2) – P()

Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив  = Æ.

Пример 1. Найти вероятность вытащить туза или червовую масть при случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа.

   Р( ТУЗ ) = 4/32 = 1/8; Р( ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ) = 8/32 = 1/4;

   Р(ТУЗЧЕРВЕЙ )=1/32;

    Р(( ТУЗ )  (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ))  = 1/8 + 1/4 – 1/32 =11/32

Того же результата можно было достичь с помощью классического определения вероятности, пересчитав число благоприятных исходов.

Условные вероятности.

Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?

Определим пространство элементарных исходов: W=(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет: А=(1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В=(1,2,3,...,20)

Событие  состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение  дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 – это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом, решение задачи определяется формулой

   Р(А/В) = P(АÇВ) /Р(B)           (1)

Р(А/В) называется условной вероятностью события A при условии, что событие В произошло. Формулу (1) можно рассматривать, как определение условной вероятности. Эту же формулу можно переписать в виде

   P(АÇВ)=Р(А/В)Р(B)   (2)

Формула (2) называется формулой умножения вероятностей (теоремой умножения вероятностей), а условная вероятность Р(А/В) здесь должна восприниматься просто по смыслу.

Пример 2. Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?

Пусть X – событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y — событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда  –  событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй — черным. P(Y/X) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P() = 7/30

Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения

   P(АÇВ)= Р(А) Р(B)

Докажите самостоятельно, что если А и В — независимые события, то  и  тоже являются независимыми событиями.

Пример 3. Найти вероятность того, что при трёх бросках игральной кости три раза выпадет шестёрка. Очевидно, что при каждом броске результат не зависит от результатов предыдущих бросков, и искомая вероятность равна (1/6)3=1/216.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: диплом управление, бесплатные тесты.



1  2  3 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки