Функциональный анализ

Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394).

Абсолютно непрерывной называется такая функция ¦, заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) с суммой длин меньшей d,  сумма модулей разностей значений функции ¦ в концах интервалов меньше чем e.

Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение.

Теорема. Функция , представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна.

Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве.

Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция.

Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица.

Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности.

Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению).

Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является  группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр.

Выпуклым подмножеством  Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа q из [0, 1] элемент qх+(1-q)у принадлежит Е.

Уравновешенным подмножеством  Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа q, по модулю не превосходящего единицы элемент qх принадлежит Е.

Абсолютно выпуклым подмножеством  Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел a b : 1³ |a|+|b| элемент aх+bу принадлежит Е.

Поглощающим подмножеством  Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х  существует число a большее нуля, что для все чисел b по модулю не меньших a найдется элемент у из Е, что х равен bу.

Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК р(aх)= a×р(х).

 Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).

Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия:

Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК ||aх||= |a|×||х||.

 Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у).

Утв. Пусть р(a) – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Еl={х: р(х)0 $d>0, справедливо |¦(х)-¦(у)|0 p(ax)= ap(x).

Однородно-выпуклым фун-лом называется положительно-однородным выпуклый фун-л.

Продолжением лин-ого фун-ла ¦0, определенного на подпространстве X0 действительного лин-ого пр-ва X называется такой лин-ый фун-л ¦, определенный на X, что¦(x)=¦0(x) для всех x из X0.

Подчиненным фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л ¦, что ¦(x)£p(x) для всех x из X.

Теорема Хана-Банаха. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л, заданный на действительном лин-ом пр-ве X, и пусть X0 – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый фун-л на X0 , подчиненные на X0 p(x). Тогда ¦0 может быть продолжен до лин-ого фун-ла ¦ на X, подчиненного p(x) на всем X.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки