Индукция
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: отчет по практике, сочинение
Добавил(а) на сайт: Дорога.
1 2 | Следующая страница реферата
Индукция
Обратимся к методу индукции. Этот метод находит систематическое применение в V-VI классах. Большинство обоснований в этих классах проводится индуктивным методом. В старших классах роль индукции снижается. Она применяется лишь в целях обнаружения математических закономерностей, обоснование же их проводится дедуктивным методом.
Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок (от лат. inductio - наведение).
Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процесс" обучения называют индуктивным методом обучения.
Для описания индуктивного метода обучения необходимо прежде всего выяснить, какие имеются виды индукции.
Пусть А={а1,а2,….}-множество всевозможных частных случаев, в каждом из которых некоторое свойство С может быть или не быть (иметь или не иметь место). Известно, допустим, что в k случаях имеет место свойство С, т. е. имеются посылки
С{а1), С(а2),...,С(аk).
Индуктивное рассуждение строится по схеме
(1),
(в схеме (1) над чертой перечислены посылки, под чертой записано заключение).
В случае, когда А - конечное множество, содержащее k элементов (всевозможных частных случаев -k), т. е наши посылки исчерпывают всевозможные
частные случаи, схема (1) представляет собой правило вывода, основанное на формуле
и заключение достоверно (истинно, если истинны посылки).
В этом случае рассуждение, построенное по схеме (1), называется полной индукцией.
Если же множество А всевозможных частных случаев содержит более k элементов или же бесконечно (что особенно часто встречается в математике), т. е. когда наши посылки не исчерпывают всевозможные частные случаи, то заключение по схеме (1) не является достоверно истинным высказыванием, а лишь вероятно истинно (правдоподобно) при истинности посылок.
В этом случае рассуждение, построенное по схеме (1), называется неполной индукцией.
Математическая индукцияВ математике широко используется еще один вид индукции - полная математическая (или математическая) индукция. Математическая
индукция - специальный метод доказательства предложений типа
(если 1 обладает некоторым свойством Р и если для всякого натурального числа х имеем: если оно обладает этим свойством, то им обладает и непосредственно следующее за ним число х + 1,-то всякое натуральное число n обладает свойством Р). Ввиду того что непосредственная проверка наличия свойства Р у любого натурального числа невозможна из-за бесконечности множества N, поступают так: проверкой устанавливают наличие этого свойства у числа 1 и доказывают, что из допущения о наличии этого свойства у произвольного числа х следует его наличие и у непосредственно следующего за ним числа х +1, (т.е. устанавливается, что свойство P как бы "передается по наследству" от х к х +1). После этого заключают об истинности доказываемого предложения, т. е. о том, что свойством Р обладают все натуральные числа. Иногда это заключение обосновывается следующим образом: так как доказываемое предложение верно для 1 и из того, что оно верно для произвольного х, следует, что оно верно и для х + 1, то оно верно и для числа 2; так как оно верно для 2, то на том же основании оно верно и для 2+1, т.е. для 3; и т.д. Следовательно, оно верно для любого натурального числа. Слова "и т. д." свидетельствуют о незавершенности, а по существу о незавершимости этого рассуждения, состоящего из бесконечного числа шагов. Роль аксиомы математической индукции состоит именно в том, что она позволяет заменить бесконечное индуктивное рассуждение конечным дедуктивным. Заметим, что метод математической индукции неоднократно включался в школьную программу и неоднократно исключался из нее как предмет специального изучения. В любом случае он может разъясняться в связи с решением задач. Полная индукция находит ограниченное применение в процессе обучения. Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сборник изложений, курсовые. 1 2 | Следующая страница реферата Поделитесь этой записью или добавьте в закладкиКатегории: |
(или
, т. е.
предложений, выражающих некоторое свойство Р, присущее всем натуральным
числам n (или всем n > k, где k, - определенное натуральное число). Этот
метод хотя и называется индуктивным, по своей структуре представляет собой
дедуктивное рассуждение, опирающееся на аксиому математической индукции: 