Интеграл Лебега

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: сообщение, скачать реферат бесплатно на тему
Добавил(а) на сайт: Golubcov.

(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала
(х0 - (, x0 + (), которые лежат также и на сегменте [а, b].)

Очевидно, m((x0) ( f(x0) ( M((x0).

Если ( уменьшается, то m((x0) не убывает, a M((x0) не возрастает.
Поэтому существуют определенные пределы m(x0) = [pic]m((x0), M((x0) = [pic]M((x0), причем, очевидно, m((x0) ( m(x0) ( f(x0) ( M(x0) ( M((x0).

Определение. Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).

Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х0. Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было m(x0) = M(x0).

(*)

Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x0. Взяв произвольное ( > 0, найдем такое ( > 0, что как только
[pic] ( (, так сейчас же
[pic] ( (.

Иначе говоря, для всех х ( (х0 - (, x0 + () будет f(x0) - ( ( f(x) ( f(x0) + (.

Но отсюда следует, что f(x0) - ( ( m((x0) ( M((x0) ( f(x0) + (, а стало быть, и тем более f(x0) - ( ( m(x0) ( M(x0) ( f(x0) + (, откуда, ввиду произвольности (, и вытекает (*). Итак, необходимость условия
(*) доказана.

Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, очевидно, m(x0) = M(x0) = f(x0) и общее значение функций Бэра в точке x0 конечно.

Возьмем произвольное ( > 0 и найдем столь малое ( > 0, что m(x0) - ( ( m((x0) ( m(x0), M(x0) ( M((x0) ( M(x0) + (.

Эти неравенства означают, что f(x0) - ( ( m((x0), M((x0) ( f(x0) + (.

Если теперь x ( (х0 - (, x0 + (), то f(x) лежит между m((x0) и M((x0), так что f(x0) - ( ( f(x) ( f(x0) + (.

Иначе говоря, из того, что [pic] ( ( вытекает, что
[pic] ( (, т. е. функция f(x) непрерывна в точке х0.

Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а, b] a = [pic] ( [pic] ( ( ( [pic] = b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = [pic] ( [pic] ( ( ( [pic] = b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . причем при i ( (
(i = max[[pic]-[pic]] ( 0.

Пусть [pic] есть точная нижняя граница значений функции f(x) на сегменте
[[pic], [pic]]. Введем функцию (i(x), полагая
(i(x) = [pic] при x ( ([pic], [pic])
(i(x) = 0 при x = [pic], [pic], ( , [pic].

Если х0 не совпадает ни с одной точкой [pic] (I = 1, 2, 3, ( ; k = 0, 1,
2, ( , ni), то
[pic](i(x0) = m(x0).

Доказательство. Фиксируем какое-нибудь i и назовем через [[pic], [pic]] тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из точек деления, то
[pic] ( x0 ( [pic] и, следовательно, при достаточно малых ( > 0 будет
(х0 - (, x0 + () ( [[pic], [pic]], откуда следует, что
[pic] ( m((x0) или, что то же самое, что
(i(x0) ( m((x0).

Устремив ( к нулю и перейдя к пределу, находим, что при любом i
(i(x0) ( m(x0).

Этим самым лемма уже доказана для случая т(х0) = ( (. Пусть т(х0) ( ( ( и пусть h ( m(x0).

Тогда найдется такое ( > 0, что m((x0) ( h.

Фиксировав это (, найдем столь большое i0, что при i ( i0 будет
[[pic], [pic]] ( (х0 - (, x0 + (), где, как и выше, [[pic], [pic]] есть сегмент, содержащий точку х0.
Существование такого i0 следует из условия (i ( 0.

Для таких i будет
[pic] ( m((x0) ( h, или, что то же самое,
(i(x0) ( h.

Итак, для всякого h ( m(x0) найдется такое i0, что при i ( i0 h ( (i(x0) ( m(x0), а это и значит, что (i(x0) ( m(x0). Лемма доказана.

Следствие 1. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки