Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Используя формулу 5

[pic](cos(1 + i(sin(1)(( cos(–(2) + i(sin(–(2)) = cos((1 – (2) + i(sin((1 – (2).

Пример 3:
Z3 = –8
Число –8 запишем в тригонометрической форме
8 = 8(( cos(( + 2(() + i·sin(( + 2(()), (((
Пусть Z = r((cos( + i(sin(), тогда данное уравнение запишется в виде: r3((cos3( + i(sin3() = 8(( cos(( + 2(() + i·sin(( + 2(()), (((
Тогда 3( =( + 2((, (((
( = [pic], ((( r3 = 8 r = 2
Следовательно:
Z = 2(( cos([pic]) + i·sin([pic])), (((
( = 0,1,2...
( = 0
Z1 = 2(( cos[pic] + i·sin[pic]) = 2(([pic]i) = 1+[pic](i
( = 1
Z2 = 2(( cos([pic] + [pic]) + i·sin([pic] + [pic])) = 2(( cos( + i·sin() =
–2
( = 2
Z3 = 2(( cos([pic] + [pic]) + i·sin([pic] + [pic])) = 2(( cos[pic] + i·sin[pic]) = 1–[pic](i

Ответ: Z13 =
[pic]; Z2 = –2

Пример 4:
Z4 = 1
Число 1 запишем в тригонометрической форме
1 = 1(( cos(2(() + i·sin(2(()), (((
Пусть Z = r((cos( + i(sin(), тогда данное уравнение запишется в виде: r4((cos4( + i(sin4() = cos(2(() + i·sin(2(()), (((
4( = 2((, (((
( = [pic], ((( r4 = 1 r = 1
Z = cos [pic]+ i(sin[pic]
( = 0,1,2,3...
( = 0
Z1 = cos0+ i(sin0 = 1 + 0 = 1
( = 1
Z2 = cos [pic]+ i(sin[pic] = 0 + i = i
( = 2
Z3 = cos( + i·sin( = –1 + 0 = –1
( = 3
Z4 = cos [pic]+ i(sin[pic]

Ответ: Z13 = [pic]1

Z24 = [pic] i

8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r(( cos( + i(sin() в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

[ r((cos( + i(sin()]n= rn(( cos n( + i(sin n()

Число Z называется корнем степени n из числа ( ( обозначается [pic]), если Zn =(.

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Zn = ( является корнем степени n из числа (. Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа (, достаточно решить уравнение Zn = (.
Если (=0, то при любом n уравнение Zn = ( имеет только одно решение Z= 0.
Если ([pic]0, то и Z[pic]0, а, следовательно, и Z и ( можно представить в тригонометрической форме

Z = r((cos( + i(sin(), ( = p((cos( + i(sin()

Уравнение Zn = ( примет вид: rn(( cos n( + i(sin n() = p(( cos( + i(sin()

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2(. Следовательно, rn
= p и n( = ( + 2(k, где k(( или r = [pic] и ( = [pic], где k((.

Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

ZK=[pic][cos([pic]) + i(sin([pic])], k(( (8)

Формулу 8 называют второй формулой Муавра.

Таким образом, если ([pic]0, то существует ровно n корней степени n из числа (: все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n из числа ( имеют один и тот же модуль [pic], но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу [pic]. Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа (, соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса [pic] с центром в точке Z = 0.

Символ [pic] не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается.
Например, используя запись [pic], следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i, или одно, то какое именно.

Уравнения высших степеней

Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n.
Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n: an(Zn + an–1(Zn–1 +...+ a1(Z1 + a0 = 0 (9)

Где an,..., a0 – заданные комплексные числа.

В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом
Гауссом в 1779 году.

Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в виде произведения:

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: скачать шпоры по праву, шпоры по химии.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки