
Комплексные числа
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат память, конспект лекций
Добавил(а) на сайт: Шабанов.
Предыдущая страница реферата | 1 2
Под квадратным корнем здесь оказалось отрицательное число. В то же время имеет решение х = 6 – это легко проверить.
Однако, предположим на секунду, что корни из отрицательных чисел существуют. Тогда, если научиться извлекать кубические корни из выражения вида А+, можно будет вычислить х=
Мы получим 3+
и 3-
. В самом деле, возведем в куб выражение 3+
, воспользовавшись формулой (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3:
Аналогично, Поэтому х
.
Как видим, “странные” корни успешно сокращаются. То есть мы решили обычное уравнение и нашли корень – обычное действительное (и даже натуральное) число. Но для этого в промежуточных выкладках нам пришлось оперировать “необычными“ числами. И самое главное – никаким другим способом, за исключением разве что угадывания, это решение получить не удается!
Теперь у нас есть три пути:
- безоговорочно следовать установленным запретам и отказаться от новых приобретений, т.е. считать, что никакого метода решения неприводимого случая кубического уравнения у нас нет;
- “спрятать голову в песок”, т.е. каждый раз, решая уравнение, при переходе к действию с
выражениями вида говорить “извените!”, а возвращаясь “на законную почву”, делать вид, что ничего не произошло;
- коль скоро допустили в промежуточные вкладки объекты новой природы, всерьез заняться их изучением: дать определение, исследовать свойства, научиться выполнять арифметические операции.
Хотя и не сразу, но в конечном итоге математеки выбрали третий путь. И были вознаграждены: “странные” корни нашли широкое применение в электротехнике, аэродинамике и других областях знаний.
Итак, кроме привычных действительных (буквально – “реально существующих”) чисел нам
приходится рассматривать еще числа вида, где А – положительное действительное число. Что за числа, как их “потрогать руками” – все это вопросы, не имеющие ответа. Мы просто договарились считать, что они есть. И вполне естественно, что такие числа были
названы мнимыми, т.е. “нереальными”. Сама идея комплексного числа возникла у итальянских математиков XVI в. в процессе решения
уравнений 3-й и 4-й степеней.
Но кое-что о мнимых числах ма все же знаем. Например, что при возведении в квадрат они
дают отрицательные числа. Далее, поскольку , то
=
, а
- это обычное действительное число. Значит, мнимое число можно получить исходя из
единственного мнимого числа
, если умножить его на подходящее действительное число. Таким
образом, вместо безбрежного океана таинственных обьектов мы имеем один-единственный непривычный объект, все же остальные строятся с помощью
операции умножения. Согласитесь, с такой ситуацией примерится уже гораздо легче.
Число , играющее роль “строительного блока” в мире мнимых чисел, называют мнимой единицей и по предложению Леонардо Эйлера обозначают i (от лат. imaginarius
– “мнимый”), но формальные операции над комплексными числами ввел Бомбелли. Основное свойство мнимой единицы выражается простым равенством:
.
Однако, как подсказывает опыт решения кубических уравнений, кроме действительных и
мнимых нам приходится рассматривать также числа вида А+, которые представляют собой сумму действительного. Такие
числа именуются комплексными, т.е. составными.
А теперь, суммируя все сказанное, сформулируем наконец определение комплексного числа: комплексным числом называется выражение вида a+bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица.
Список использованной литературы
В. Антонов. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика –Москва: изд-во “Аванта+”, 1998. – 688 с.
Скачали данный реферат: Булдаков, Листунов, Танков, Ржевский, Ковшутин, Янченко.
Последние просмотренные рефераты на тему: предмет культурологии, менеджмент, варианты ответов, изложение язык.
Предыдущая страница реферата | 1 2