Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

  Пример 1. Пусть функции распределения F(x) и G(x) сосредоточены на интервале (-1 ; 1), на котором

 F(x) = (x + 1)/2 ,  G(x) = ( x + 1 + 1/p sin px ) / 2 .

Тогда x = F-1(t) = 2t - 1, L(t) = G(F-1(t)) = (2 t + 1/p sin p(2t - 1)) / 2 = t + 1/2p sin p(2t - 1) . Условие (11) выполнено, поскольку функция  (G(x) - (x + 1)/2 ) является нечетной. Следовательно, a = 1/2 . Начнем с вычисления

g2 =  òt2 dL(t) - 1/4 = òt2 d(t + 1/2p sin p(2t - 1)) - 1/4 .

Поскольку d(t + 1/2p sin p(2t - 1)) = (1 + cos p(2t - 1) ) dt, то

g2 = òt2 (1 + cos p(2t - 1) ) dt - 1/4 = 1/12 + òt2  cos p(2t - 1) dt .

С помощью замены переменных t = (x +1) / 2 получаем, что

òt2cos p(2t - 1) dt = 1/8 (òx2cos px dx + 2òx cos px dx + òcos px dx) .

В правой части последнего равенства стоят табличные интегралы [4, с.71]. Проведя соответствующие вычисления, получаем, что в правой части стоит 1/8 ( - 4/ p2) = - 1/(2 p2). Следовательно,

g2 = 1/12  - 1/(2 p2) = 0,032672733...

  Перейдем к b2 . Поскольку

b2 =  òL2(t)dt- 1/4  =  ò(t + 1/2p sin p(2t - 1))2 dt- 1/4 ,

то

b2 =  1/12 + 1/pò(t sin p(2t - 1)) dt + (1/2p)2ò sin2  p(2t - 1) dt .

С помощью замены переменных t = (x+1) / 2 переходим к табличным интегралам [4, с.65]:

b2= 1/12 + (4p)-1òx sin px dx + (4p)-1òsin px dx + (8p2)-1òsin2px dx.

Проведя необходимые вычисления, получаем, что

b2= 1/12 + (4p)-1( - 2/p) +0+ (8p2)-1 = 1/12 - 3(8p2)-1 = 0,045337893...

  Следовательно, для рассматриваемых функций распределения нормированная и центрированная статистика Вилкоксона (см. формулу (4)) асимптотически нормальна с математическим ожиданием 0 и дисперсией (см. формулу (9))

D(T) = ( 0,544 n + 0,392 m + 2,064 ) (m+n+1) - 1    .  

Как легко видеть, дисперсия всегда меньше 1. Это значит, что в рассматриваемом случае гипотеза полной однородности (2) при проверке с помощью критерия Вилкоксона будет приниматься чаще, чем если она на самом деле верна.

  На наш взгляд, это означает, что критерий Вилкоксона нельзя считать критерием для проверки гипотезы (2) при альтернативе общего вида. Он не всегда позволяет проверить однородность - не при всех альтернативах. Точно так же критерии типа хи-квадрат нельзя считать критериями проверки гипотез согласия и однородности - они позволяют обнаружить не все различия, поскольку некоторые "скрадывает" группировка.

  Обсудим теперь, действительно ли критерий Вилкоксона нацелен на проверку равенства медиан распределений, соответствующих выборкам.

  Пример 2. Построим семейство пар функций распределения F(x) и G(x) таких, что их медианы различны, но для F(x) и G(x) выполнена гипотеза (6). Пусть распределения сосредоточены на интервале (0 ; 1), и на нем G(x) = x , а F(x) имеет кусочно-линейный график с вершинами в в точках (0 ; 0), ( l , 1/2 ), ( d , 3/4), (1 ; 1). Следовательно, F(x) = 0 при x < 0 ; F(x) = x / (2 l) на [0 ; l ) ; F(x) = 1/2 + (x - l ) / (4 d - 4 l) на [l ; d ) ; F(x) = 3/4 + (x - d ) / (4  - 4 d) на [ d ; 1] ; F(x) = 1 при x > 1. Очевидно, что медиана  F(x) равна l, а медиана G(x) равна 1/2 .

  Согласно соотношению (9) для выполнения гипотезы (6) достаточно определить d как функцию l , d = d ( l ) , из условия    

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: контрольная работа 1, доклад.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки