ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F1 и
F2.
Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1М и F2М
(так же как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки
М. Постоянную сумму фокальных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F1М + F2М = 2а.
Расстояние F1 и F2 между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой- нибудь эллипс с фокусами F1, F2.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов
(r1 = F1М, r2 = F2М). Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда r1 + r2 = 2а.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r1 и r2 их выражениями через координаты х, у.
Заметим, что так как F1 F2 = 2с и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:

[pic]
Заменяя r1 и r2, получаем:

[pic]
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки
М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведём обе части равенства в квадрат, получим:

[pic] или

[pic]
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем: а2х2 — 2а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 — 2а2сх + с2х2 , откуда

(а2—с2)х2 + а2у2 = а2(а2—с2).
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

[pic] ; а>с, следовательно, а2—с2>0 и величина b—вещественна. b2 = a2—c2, тогда

b2x2 + a2y2 = a2b2 , или

[pic].
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.
Уравнение

[pic],

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ?, получаем:

[pic].
Так как с0 и величина b—вещественна. b2= с2—а2, тогда

b2x2 — a2y2 = a2b2 , или

[pic] .
Уравнение

[pic] , определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой ?, получим:

[pic].

Так как для гиперболы с>a, то ?>1; т. е. эксцентриситет каждой гиперболы больше единицы. Заметив, что c2 = a2+ b2, находим:

[pic]; отсюда

[pic] и [pic].
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением [pic], а отношение
[pic] в свою очередь определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.
Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше ?2—1, тем меньше, следовательно, отношение [pic]; значит, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины). В случае равносторонней гиперболы a=b и ?=?2.
Рассмотрим какую-нибудь гиперболу и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы эта гипербола определялась каноническим уравнением

[pic] .
Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии [pic] от него, называются директрисами гиперболы.
Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

[pic] и [pic].
Первую из них мы условимся называть левой, вторую —правой.
Так как для гиперболы ? >1, то [pic].
Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы; аналогично, левая директриса расположена между центром и левой вершиной.

ПАРАБОЛА.
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).
Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до директрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы.
Пусть дана какая-нибудь парабола. Возьмем на плоскости произвольную точку
М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса (r=FM), через d—расстояние от точки М до директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда r=d.
Чтобы получить искомое уравнение, нужно заменить переменные r и d их выражениями через текущие координаты х, у.
Заметим, что фокус F имеет координаты [pic]; приняв это во внимание, находим:

[pic].

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки