Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Рассмотрим правую часть последнего неравенства; имеем

(1+k´ x)(1+x)=1+(k+1)´ x+k´ x2>1+(k+1)´ x.

В итоге получаем, что

(1+х)k+1>1+(k+1)´ x.

Итак, А(k)Þ A(k+1). На основании принципа математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого n> 2.

ПРИМЕР 15

Доказать, что справедливо неравенство

(1+a+a2)m> 1+m´ a+(m(m+1)/2)´ a2 при а> 0.

Решение: 1) При m=1

(1+а+а2)1> 1+а+(2/2)´ а2 обе части равны.

2) Предположим, что при m=k

(1+a+a2)k>1+k´ a+(k(k+1)/2)´ a2

3) Докажем, что при m=k+1 не-равенство верно

(1+a+a2)k+1=(1+a+a2)(1+a+a2)k>(1+a+a2)(1+k´ a+

+(k(k+1)/2)´ a2)=1+(k+1)´ a+((k(k+1)/2)+k+1)´ a2+

+((k(k+1)/2)+k)´ a3+(k(k+1)/2)´ a4> 1+(k+1)´ a+

+((k+1)(k+2)/2)´ a2.

Мы доказали справедливость неравенства при m=k+1, следовательно, в силу метода математиче-ской индукции, неравенство справедливо для лю-бого натурального m.

ПРИМЕР 16

Доказать, что при n>6 справедливо неравенство

3n>n´ 2n+1.

Решение: Перепишем неравенство в виде

(3/2)n>2n.

При n=7 имеем

37/27=2187/128>14=2´ 7

неравенство верно.

Предположим, что при n=k

(3/2)k>2k.

3) Докажем верность неравен-ства при n=k+1.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: обучение реферат, реферат методы.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки