Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Если функция [pic] гармонична в односвязной области [pic] и непрерывна вместе со своими частными производными в [pic], то

[pic], (11) где [pic] - граница области [pic] обозначает производную в направлении нормали к [pic], а [pic] - дифференциал дуги.

Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо выполнения соотношения

[pic]. (12)

Доказывается единственность решения задачи Неймана и при доказательстве единственности решения задачи Неймана можно ограничиться случаем, когда область [pic] представляет собой полуплоскость ([pic]z, > 0).

В дополнительном предположении непрерывности частных производных в

[pic] решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции.

Две гармонические в области [pic] функции [pic] и [pic], связанные условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.

Как мы знаем, для всякой функции [pic]гармонической в односвязной области [pic], можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию

[pic]. Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций [pic] сопряженных с [pic] дает формула:

[pic], (13) где С – произвольная действительная постоянная.

Заметим, что в многосвязной области [pic] интеграл (13) по контуру

[pic], определяет, вообще говоря, многозначную функцию:

[pic], (14) где [pic] - произвольные целые числа, а [pic] - интегралы вдоль замкнутых контуров [pic], каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы [pic]:

[pic]. (15)

Постоянные [pic] называются периодами интеграла (13) или циклическими постоянными.

Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится к решению задачи

Дирихле для сопряженной гармонической функции [pic], где [pic],

[pic] носят название соответственно силовой функции и потенциала поля.

Функции [pic] и [pic], представляющие собой регулярные решения системы

Коши-Римана [6]:

[pic] , [pic] [pic] (16) имеют частные производные всех порядков, т.е. аналитические функции

[pic] являются решением уравнения [pic]. (17)

Условие (17) – условие комплексной дифференцируемости функции [pic].

§2. О задачах Шварца-Пуассона.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: налоги в россии, решебник по математике 5.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки