Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

*l2={{xi}i*N /  С*R, ν*N: ≤С} (*)

Т.е. в l2 входят гиперкомплексные последовательности с гипернатуральной нумерацией, удовлетворяющие условию (*). Аналогично, в *l2(-,) будут последовательности с гиперцелой нумерацией, члены которых также *С, удовлетворяющие аналогичному (*) условию

*-,)={{xi }/  С*R, ν: ≤С}.

Естественным образом в *l2 можно ввести норму: , но в отличие от нормы в l2, в *l2 норма может принимать также и бесконечные значения.

Докажем, что для расширений стандартных последовательностей .

Возьмем стандартную последовательность {xi}=x в пространстве l2 с нормой  и любое стандартное . Воспользуемся теоремой 1:  . Из этого утверждения следует, что верно следующее утверждение: , т.е. для любого стандартного  число  является верхней границей для множества всех сумм вида  (1).

Обозначим М= (2)

Из предыдущего следует, что . С другой стороны, так как М , то  ]. Но , значит, для любого стандартного  , следовательно, М , или , что и требовалось доказать.

3. Операторы сдвига в нестандартном расширении пространства последовательностей

В дальнейшем Н – гильбертово пространство,  – пространство всех линейных ограниченных операторов в Н.

Для линейных операторов в нестандартных пространствах можно ввести аналоги основных понятий теории операторов: ограниченности, нормы, спектра. При этом можно рассматривать различные пространства операторов: например,  – множество всех расширений операторов из пространства ;  – множество всех линейных операторов , имеющих конечную норму, т. е. удовлетворяющих условию ; *(L(H)) – расширение пространства всех линейных ограниченных операторов в Н.

Мы будем рассматривать операторы из пространства *(L(H)). Для операторов из этого пространства можно ввести норму как расширение нормы на пространстве *(L(H)). Но в отличие от стандартной нормы она может быть также и бесконечна. Назовем оператор из *(L(H)) ограниченным, если его норма конечна

Определение 13. Спектром оператора А*(L(H)) называется множество точек λ, для которых оператор А– λI не имеет ограниченного обратного в *(L(H)).

Теорема 12. Если существует элемент  с не бесконечно малой нормой, такой, что  для некоторого λ, то число  принадлежит спектру оператора А.

Доказательство. Предположим, что обратный оператор  существует. Обозначим . Тогда  , а . Норма элемента  равна 1, а норма элемента  бесконечно большая. Отсюда следует, что оператор  не ограничен.

Определение 14. Элемент  с не бесконечно малой нормой, такой, что  для некоторого λ, называется почти собственным вектором оператора А, а число  – точкой почти собственного спектра оператора А.

Рассмотрим оператор сдвига U в пространстве , т. е. оператор, каждую последовательность вида  переводящий в последовательность вида

Также будем рассматривать оператор двустороннего сдвига , он каждую последовательность вида   сдвигает вправо, т.е. переводит в последовательность .

Рассмотрим следующую задачу. В пространстве * возьмем следующую последовательность: , где  – бесконечно большой номер. Найдем норму этого элемента: . Если же качестве  возьмем , то получим . Покажем, что данный элемент является почти собственным вектором оператора сдвига с почти собственным числом , т. е. . Действительно, =, следовательно,  .

Можно доказать также более общий факт.

Теорема 13. Любая точка единичной окружности является почти собственным числом оператора двухстороннего сдвига, соответствующим некоторому почти собственному вектору.

Доказательство. В пространстве *l2(-,) рассмотрим следующую последовательность: =, где = и – некоторый бесконечно большой номер. Найдем норму этого элемента: . Возьмем  и рассмотрим разность . Так как

Ux=, ,

то . Найдем норму этой разности: , т. е. .

Заключение

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: бесплатные шпаргалки по праву, диплом.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки