Пределы
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: украинские рефераты, анализ курсовой работы
Добавил(а) на сайт: Jagfarov.
1 2 3 4 5 | Следующая страница реферата
Пределы
Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N0, такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-A|<E. limn®¥Xn=A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.
Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N0, для кот. любые точки >N0 попадают в Е-окрестность (.)А.
Св-ва послед-ти, имеющей предел:
1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.
Док-во: предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N1 "n>N1 |a-Xn|<E/2 Из lim Xn=b (n®¥) => " E/2 $ N2 "n>N2 |Xn-и|<E/2 N0=max(N1;N2), n>N0. |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b|<E/2+E/2=E => |a-b|=0 => a=b.
2.теорема о сжатой переменной. $ lim Zn=a (n®¥)
Док-во: 1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N2 |Xn-a|<E, a-E<Xn<a+E. 2. Из $ lim Yn=a (n®¥) => n>N3, a-E<Yn<a+E. 3. N0=max(N1,N2,N3). При всех n>N0 Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)
Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.
Бесконечно малая величина.
Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N0, n>N0, |Xn|<E.
Свойства б.м. величин:
1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.
Док-во: из Xn – б.м. => " E/2 $N1, n>N1 |Xn|<E/2
из Yn–б.м.=>" E/2 $N2, n>N2 |Yn|<E/2, N0=max(N1,N2), N>N0, |Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E => lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.
2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,
Yn – б.м. => " E/K $N0 n>N0 |Yn|<E/K.
|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E
3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a (n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.
Док-во: Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N0 n>N0 |Xn-a|<E
Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).
Бесконечно большая величина
Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N0, n>N0, |Xn|>M => M<Xn<-M. lim Xn=¥ (n®¥).
Свойства б.б. величин:
1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклад африка, сообщение.
1 2 3 4 5 | Следующая страница реферата