Преобразование Фурье

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: шпаргалки по русскому языку, культурология как наука
Добавил(а) на сайт: Прокоп.

[pic] такой набор точек, что на интервалах (yi,yi+1) функция h класса C2, i=1,2,…,n. Тогда для всех x, отличных от yi, i=1,2,…,n+1, справедливо соотношение

[pic]

Доказательство. Так как h(y)(L1 , то для всякого (>0 найдется такое
А, что

[pic] при всех t>0. Заметим, что

[pic] (3)
Тогда

[pic]
Второе слагаемое в (4) заменой z= t(x - y) приводится к виду

[pic] и, следовательно, стремится к нулю при [pic] в силу сходимости интеграла
(3). Для доказательства леммы осталось показать, что первое слагаемое в (4) также стремится [pic].
Введем обозначение

[pic]
Если h класса C2 в окрестности точки x, то из равенства

[pic] следует дифференцируемость функции g(y) в точке y = x. Итак, g(y) – кусочно- диференцируемая функция. Интегрируя по частям, устанавливаем

[pic] при [pic] Лемма доказана.

Предложение 3. F-1[F[(]]=( для любого ((S(R).

Доказательство.

[pic]
Внутренний интеграл сходится равномерно по y([-n, n], поэтому возможна замена порядка интегрирования.

[pic]
Теперь утверждение следует из леммы.

Из доказанного предложения вытекает, что преобразование Фурье взаимно- однозначно отображает класс Шварца в себя. Покажем что это отображение
“на”. Определим оператор J переводящий функцию ((x) в функцию ((-x). Тогда очевидно равенство F=2(JF-1, откуда, умножая справа на FJ/2( и используясь равенством JJ=1, будем иметь [pic], где 1 справа надо понимать как тождественное отображение в S(R). Последнее равенство означает, что любая функция из S(R) есть преобразование Фурье некоторой функции.

§5. Класс Шварца в многомерном случае.

Мультииндексом (=((1,…,(n) будем называть набор из неотрицательных целых чисел. Порядком мультииндекса будем называть число [pic]

Глава II

Задача Коши для уравнения теплопроводности.

§1. Постановка задачи коши для уравнения теплопроводности.

Требуется найти функцию u(x,t), непрерывную при t[pic]0 и x[pic]R и класса C2 при t>0, удовлетворяющую уравнению

[pic] (1) при t>0, x[pic]R и начальному условию u(x,0)=((x). (2)
Задача (1),(2) имеет, вообще говоря, много решений. Поэтому обычно накладывают дополнительное условие, которому должно удовлетворять решение.

Теорема (Тихонова). Пусть u(x,t) – решение задачи (1),(2) с функцией
((x)(0. Пусть ((>0 существует постоянная C>0 такая, что

[pic] при всех x(R и t(0. Тогда u(0.

Из этой теоремы следует, что при среди функций, растущих, грубо говоря, медленнее чем [pic] при любом (>0, не может найтись более одного решения задачи (1),(2).

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки