Приближённые методы решения алгебраического уравнения

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: сочинение по картине, курсовики скачать бесплатно
Добавил(а) на сайт: Feona.

xn +1=((xn), n=0, 1, 2, … (2.3)

Последовательность {xn} называется итерационной последовательностью. При её изучении встают два вопроса:

1) Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, т. е. будут ли числа xn принадлежать отрезку [a, b] ?
2) Если итерационный процесс (2.3) бесконечен, то как ведут себя числа xn при n((

Исследование этих вопросов показывает, что при определённых ограничениях на функцию ((x) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения (1.3).

[pic], c=((c)

(3.3)

Однако для того, чтобы провести это исследование нам нужно ввести новое понятие.

Говорят, что функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, если существует такая постоянная (, что для любых x1, x2, принадлежащих отрезку [a, b] имеет место неравенство:

| f(x1) - f(x2)| ( (|x1 - x2| (4.3)

Величину ( в этом случае называют постоянной Липшица.

Если функция f(x), удовлетворяет на отрезке [a, b] условию
Липшица, то она непрерывна на нём. Действительно, пусть x0 – произвольная точка отрезка. Рассмотрим приращение функции f(x) в этой точке:

(f=f(x0+(x) – f(x0)

и оценим его с помощью неравенства (4.3)

|(f | ( (|(x|

Таким образом, [pic], что означает непрерывность функции f(x).

Условие Липшица имеет простой геометрический смысл. Возьмём не графике функции y=f(x) две произвольные точки M1 и M2 с координатами (x1, f(x1)) и (x2, f(x2)). Напишем уравнение прямой линии, проходящей через эти точки:

y=f(x1) + k(x-x1)

где k– тангенс угла наклона прямой у оси Оx и определяется формулой:

[pic]

Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию
Липшица, то при произвольном выборе точек M1 и M2 имеем |k|((. Таким образом, с геометрической точки зрения условие Липшица означает ограниченность тангенса угла наклона секущих, проведённых через всевозможные пары точек графика функции y=f(x).

рис 2.3 рис 3.3 геометрическая иллюстрация геометрическая иллюстрация условия Липшица. cвязи условия Липшица с пред-

положением о дифференциру-

емости функции.

Предположим, что функция f(x) имеет на отрезке [a, b] ограниченную производную:
| f ((x)| ( m; тогда она удовлетворяет условию Липшица с постоянной (=m.
Для доказательс- тва этого утверждения воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа:

f(x2) – f(x1) = f ((()(x2-x1) (5.3)

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки