Применение теоремы Эйлера к некоторым задачам
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: реферат книга, как написать дипломную работу
Добавил(а) на сайт: Nozdrjov.
Предыдущая страница реферата | 1 2
Рефераты | Рефераты по математике | Применение теоремы Эйлера к некоторым задачамПрименение теоремы Эйлера к некоторым задачамКатегория реферата: Рефераты по математике Теги реферата: реферат книга, как написать дипломную работу Добавил(а) на сайт: Nozdrjov. Предыдущая страница реферата | 1 2 |
Из формулы (1) и теоремы Эйлера, применённой к системе точек и дуг красного цвета, следует, что
2n = 6m – 12, |
3a + 6(m – a) ≤ 6m – 12. |
которое показывает, что a≥4. Остаётся заметить, что если некоторая страна на чёрной карте имеет больше пяти соседей, то из отмеченной в этой стране красной точки выходит больше пяти дуг, и потому, в силу неравенства a≥4, на чёрной карте найдутся четыре страны, каждая из которых имеет не больше пяти соседей.
Задача4. Можно ли семиугольник разрезать на выпуклые шестиугольники?
Решение. Предположим, что какой-то семиугольник удалось разрезать на выпуклые шестиугольники. Обозначим число тех вершин шестиугольников, которые лежат внутри исходного семиугольника, через m, а число оставшихся вершин (то есть лежащих на границе семиугольника) — через m'. В качестве дуг, соединяющих вершины, выберем прямолинейные отрезки сторон многоугольников, удовлетворяющие следующему условию: отрезок должен соединять две вершины и не проходить через остальные вершины. Обозначим через n число таких дуг и через l — число областей, на которые эти дуги делят плоскость (число l на единицу больше числа шестиугольников). Ясно, что любые две вершины окажутся соединёнными цепочкой дуг. В силу теоремы Эйлера
m + m' – n + l = 2. |
(3) |
Так как внешняя область ограничена m' дугами, а каждая из остальных — не менее чем шестью дугами, то
2n ≥ 6(l – 1) + m'. |
(4) |
Из некоторых вершин на границе семиугольника выходят только две дуги. Обозначим число таких вершин через a. Из всякой другой вершины выходят по крайней мере три дуги, так что
3m + 3(m' – a) + 2a ≤ 2n.
Отсюда в силу равенства(3)
n ≤ 3l + a – 6.
Сравнивая это неравенство и неравенство(4), мы получаем
2a – m' ≥ 6. |
(5) |
Так как на границе семиугольника найдутся по крайней мере две вершины, из которых выходят дуги, ведущие внутрь семиугольника, то m' – a ≥ 2. Из этого неравенства и неравенства (5) следует, что a ≥ 8.
С другой стороны, так как семиугольник разрезан на выпуклые многоугольники, то всякая вершина, из которой выходят две дуги, является вершиной семиугольника, и потому a ≤ 7. Таким образом, семиугольник нельзя разрезать на выпуклые шестиугольники.