Применение тройных и кратных интегралов

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: объект реферата, сочинения 4
Добавил(а) на сайт: Ювеналий.

[pic]
Если тело однородно, т. е. [pic], то формулы упрощаются:

[pic] где V- объём тела.

Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара [pic]:
[pic]
Две координаты центра тяжести [pic] равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz).
Интеграл [pic] удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:

[pic]
Так как объём полушара равен [pic] то

[pic]
Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны [pic] то полагая для простоты [pic] получим следующие формулы :

[pic]
Аналогично плоскому случаю интегралы

[pic] называются центробежными моментами инерции.
Для полярного момента инерции формула имеет вид

[pic]
Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель [pic] - плотность тела в точке P.
Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь

[pic] где М—масса шара.
Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой, то, учитывая, что [pic] получим

[pic]
Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело [pic] вращается около оси Оz с постоянной угловой скоростью [pic].
Найдем кинетическую энергию [pic] тела. Как известно, кинетическая энергия точки измеряется величиной [pic], где т - масса точки, а [pic] - величина ее скорости. Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек, а кинетическая энергия тела - как сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это обстоятельство позволяет применить для вычисления .кинетической энергии интеграл.
Возьмем какую-нибудь окрестность [pic] точки Р(х, у, z) тела [pic].
Величина линейной скорости [pic] точки Р при вращении около оси Оz равна
[pic] и значит, кинетическая энергия части [pic] тела [pic] выразится так :

[pic]

где [pic] - плотность тела в точке Р. Для кинетической энергии всего тела
[pic] получаем

[pic]

т.е.

[pic]
Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью, равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения.

Список использованной литературы.

1. А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович.

Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы,
1971 г.,736с.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки