Проективная геометрия развилась и выделилась в особую ветвь геометрических знаний в первые десятилетия 19 века. Источником этого явились потребности графики и архитектуры, развитие теории изображений в перспективе.

Так, французский геометр Понселе одним из первых выделил особые свойства геометрических фигур, названные им проективными.

Что это за свойства?

Пусть F- произвольная фигура в некоторой плоскости a , b - какая - либо другая плоскость, т.О - произвольная точка пространства, не принадлежащая ни одной плоскости (a и b). Точка, отсоединенная с любой точкой М фигуры F, определяет прямую (ОМ), пересекающую плоскость b в некоторой точке М/, которую мы будем называть проекцией точки М (на плоскости b из центра О).

Проекции всех точек фигуры F на плоскость b составят некоторую фигуру F/, которая называется проекцией фигуры F. Операция, с помощью которой в данной задаче из фигуры F получена фигура F/ носит название центрального проектирования из точки О. Если изменить положение точки О и плоскости b мы получим бесконечное множество фигур(или иначе говоря, центральных проекций фигуры F), которые в чем-то будут похожи на фигуру F, но в чем-то и отличаться. Например, проектируя правильный треугольник, получим тоже треугольник, но произвольной формы. Проектируя окружность, можем получить эллипс или параболу, или даже гиперболу. При таком проектировании не сохраняются метрические характеристики фигур (длина, площадь и т. д. ).

Какие же свойства сохраняются? Они обычно называются инвариантами преобразования, каковым в данном случае является преобразование проектирования. Именно эти свойства фигур, инвариантные по отношению к такому проектированию, Понселе назвал проективными свойствами, а предмет, их изучающий- проективной геометрией.

Примеры инвариантных свойств.

1) Если фигура или объект - прямая, то после проектирования получим также прямую.

2) Если фигура F- коническое сечение, т.е. описывается квадратичной формой a11x2+a22y2+a12xy+a13x+a23y+a33 =0, то проекцией точек на коническом сечении лягут также на некоторое коническое сечение. Таким образом, отдельные виды конических сечений (окружности, эллипсы, параболы, гиперболы) в проективной геометрии не отличаются - в отличие от аффинной, например, где эллипс всегда перейдет в эллипс.

Важной предпосылкой превращения проективной геометрии в самостоятельную дисциплину, было введение в употребление бесконечно удаленных геометрических элементов. Займемся их определением.

Пусть А - произвольная точка пространства и a - прямая, не проходящая через точку А. Проведем плоскость a через точку А и прямую а. Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через точку А и лежащие в плоскости a
(рис.2).

Установим соответствие между прямыми пучка, проходящего через А и точками на прямой а. Например, лучу m соответствует точка M. Очевидно, что какую бы точку на прямой a мы ни выбрали, ей всегда соответствует определенный луч. Однако, нельзя утверждать, что любому лучу соответствует точка прямой a. Действительно, возьмем луч a/ , соответствующей точки на a мы не найдем. Таким образом, соответствие между лучами пучка и точками прямой a не является взаимно однозначными. Это не всегда удобно при операциях проектирования. Чтобы устранить это неудобно, условимся считать параллельные прямые, пересекающими на бесконечности. Тогда луч а/ из пучка
А, параллельный а, будет иметь на этой прямой соответствующую точку ,но не обычную ,а называемую бесконечно удаленной точкой. Это новый геометрический объект. Все параллельные друг другу прямые в плоскости a имеют одну общую бесконечно удаленную точку, поэтому систему параллельных прямых называют пучком с бесконечно удаленным центром (рис.3).

Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых в плоскости считаются различными. Таким образом, каждая плоскость содержит бесконечно много различных бесконечно удаленных точек. Совокупность всех бесконечно удаленных точек плоскости называется бесконечно удаленной прямой.

Таким образом, каждая плоскость содержит одну бесконечно удаленную прямую.

Вполне логично совокупность всех бесконечно удаленных прямых назвать бесконечно удаленной плоскостью.
Выводы: множество объектов обычного евклидова пространства дополняется новыми элементами:

1) К множеству точек каждой прямой добавляется одна бесконечно удаленная точка;

2) К множеству прямых каждой плоскости добавляется одна бесконечно удаленная прямая;

3) К множеству всех плоскостей пространства R3 добавляется бесконечно удаленная плоскость.

Определение: прямая дополненная бесконечно удаленной точкой называется проективной прямой.

Проективную прямую следует представлять в виде замкнутой линии.
Плоскость, дополненная бесконечно удаленной прямой называется проективной плоскостью. Пространство, дополненное бесконечно удаленной плоскостью называется проективным пространством.

Термин бесконечности иногда употребляется и в обычной, элементарной геометрии (например, что параллельные прямые сходятся в бесконечности),но это лишь словесное выражение, в проективной же геометрии бесконечно удаленные элементы играют такую же роль, как и обыкновенные геометрические образы. В обычной геометрии большую роль играет изучение метрических свойств фигур (длины, площади, углы, объемы).

В проективной, процесс измерения теряет смысл, т. к например, один конец отрезка может оказаться в бесконечности. Таким образом, метрические свойства фигур не являются проективными свойствами.

Проективная геометрия, как и любая другая, строится на некоторой системе аксиом. Все аксиомы разбиты на три группы:

1.Аксиомы связи:

Кратко сформулируем их, учтя, что теперь в понятие любого объекта включается бесконечно удаленные элементы.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки