Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

T=f(t); скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры
Т по времени с, т. е. dT/dt;
4) теплоемкость С для данной температуры t есть производная от количества теплоты Q по температуре t,

C=dQ/dt;
5) при нагревании стержня его удлинение ?l, как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение
?l/?t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t,

?=dl/dt

Касательная к кривой

1°. Возьмем на прямой АВ (черт) точку С и проведем через нее прямую СМ, не совпадающую с АВ. Вообразим, что прямая СМ вращается вокруг точки С так, что угол ? между прямыми стремится к нулю. Неподвижная прямая АВ называется в этом случае предельным положением подвижной прямой СМ.
2°, Вообразим, что на кривой АВ (черт. 93) точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же прямая СТ — предельное положение секущей СМ.
Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.
Точка С называется точкой прикосновения или касания.
3°. Следствие. Угол ? (черт.), образуемым касательной СТ с осью Ох, есть предел угла ?, образуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.
Действительно, угол ? между касательной СТ и секущей СМ равен разности ?
— ?:

? — ? = ?.
По определению касательной, угол ? — бесконечно малая величина, а поэтому

? — lim?. (I)
4°. Теорема. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.
Доказательство. Угловой коэффициент касательной: tg? = tg(lim?), так как, по предыдущему, ? = lim?.

Исключая случай ? = ?/2, в силу непрерывности тангенса имеем: tg(lim?) = lim tg?.
Поэтому tg? = lim tg?.
По формуле (VI) для СМ (черт.) имеем: tg?=(f(x+?x) -f (x))/?x
Переходя к пределу при ?x>0 (точка М при ?x> 0 неограниченно приближается к С, а угол ?>?), имеем:

Следовательно, (IV)

Геометрический смысл производной

1°. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:
1) в этой точке имеется касательная к графику функции,
2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, существует предел отношения
?y/?x. Но отношение ?у/?x есть тангенс угла секущей СМ (черт.).

?y/?x=tgx (1)
Значит, согласно условию, существует

Из равенства (1) следует:

?=arctg(?y/?x).
Вследствие непрерывности арктангенса, имеем:

Но, по условию, существует и равен числу f '(х).
Поэтому

Полагая arctg f '(x)=?, получаем:

Следовательно, существует предел ?. Значит, существует прямая, проходящая через точку С, угол которой с Ох равен Такая прямая есть касательная в данной точке С[х, f(x)] и ее угловой

коэффициент tg? = f '(x).
2°. Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном прямой к оси Ох. Наклоном кривой y=f(x) в точке (х1, у1) называется угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой точке, т. е. tg? = f '(х1).
2. Если касательная в точке (х1, y1) кривой y=f(x) образует с Ох: а) острый угол ?, то производная f '(x)>0, так как tg? >0 (черт.); б) тупой угол ?, то производная f '(х1)0

lim f(c - ?x) = f(c) и lim f(c + ?x) = f(c).
- ?x>0 + ?x>0

Y

0

X

C

2?

m

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: русские шпоры, мировая торговля.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки