Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: оружие реферат, 6 решебник виленкин
Добавил(а) на сайт: Kas'jan.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 | Следующая страница реферата
Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это
значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что
уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции
У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной
последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом
интегрирования.
Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде
таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является
сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов.
Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда
других методов.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка y/=f(x,y) (1)
с начальным условием x=x0, y(x0)=y0 (2)
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.
В методе Эйлера приближенные значения у(хi)(yi вычисляются
последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).
При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое
звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая
проходит через точку Мi.
Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике Rудовлетворяет условиям:
|f(x, y1)- f(x, y2)| ( N|y1-y2| (N=const),
|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| ( M (M=const),
то имеет место следующая оценка погрешности:
|y(xn)-yn| ( hM/2N[(1+hN)n-1], (3)
где у(хn)-значение точного решения уравнения(1) при х=хn, а уn-
приближенное значение, полученное на n-ом шаге.
Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда
оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом
h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность
более точного значения уn* оценивается формулой
|yn-y(xn)|(|yn*-yn|.
Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Модифицированный метод Эйлера более точен.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/=f(x,y)
с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n
равных частей. На малом участке
[x0,x0+h]
у
интегральную кривую заменим прямой
Nk/ y=y(x) линией.
Получаем точку Мк(хк,ук).
Мк Мк/ yk+1 yk
хк хк1/2 xk+h=xk1 х
Через Мк проводим касательную: у=ук=f(xk,yk)(x-xk).
Делим отрезок (хк,хк1) пополам: xNk/=xk+h/2=xk+1/2
yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2
Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную: y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=?k
Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом ?к и определяем точку
пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1
принимаем ординату точки Мк/. Тогда: ук+1=ук+?кh xk+1=xk+h
(4) ?k=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2) yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h
(4)-рекурентные формулы метода Эйлера.
Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.
Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:
| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk), где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.
Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков.
Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными
условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена: y/=z z/=f(x,y,z)
Тем самым преобразуются начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.
РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат по дисциплине, александр реферат.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 4 5 | Следующая страница реферата