Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: курсовая работа по менеджменту, тезис
Добавил(а) на сайт: Kondratov.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 | Следующая страница реферата
Метод конечных элементов
Выберем произвольный треугольник (с номером e). Обозначим его вершины и . Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы
, (5)
где , A – площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры в узловых точках
. (6)
Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов , каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e
. (7)
Минимум функционала (4) находим из условия
(8)
Функционал можно представить в виде
(9)
Здесь , глобальный вектор температур , - матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид , . Локальный вектор температур . Здесь матрица геометрических связей имеет размерность . Элементы этой матрицы определяются следующим образом: ; все остальные элементы равны нулю.
Продифференцируем функционал (9):
Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем , где матрица теплопроводности элемента ; вектор нагрузки элемента .
В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i – j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.
В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e, матрица и вектор будут определяться несколько различным образом.
Обозначим
.
Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат . Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью . Координаты определяются из соотношений .
Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения:
Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то . Если ко второй, то . Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то .
Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: оформление доклада титульный лист, социальные реферат.
Предыдущая страница реферата | 1 2 3 | Следующая страница реферата