Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

1.2.Минимальный полином алгебраического элемента.

Пусть P [x] — кольцо полиномов над полем P.

Определение. Пусть ( — алгебраический элемент над полем P. Минимальным полиномом элемента (, над P называется нормированный полином из P[x] наименьшей степени, корнем которого является (. Степень минимального полинома называется степенью элемента ( над P.
Легко видеть, что для всякого элемента (, алгебраического над P , существует минимальный полином.

Предложение 1.3. Если а — алгебраический элемент над полем P, а g и ( — его минимальные полиномы над P, то g=(.

Доказательство. Степени минимальных полиномов g и ( совпадают. Если g (
(, то элемент ( (степени n над P) будет корнем полинома g - (, степень которого меньше степени полинома ( (меньше n), что невозможно.
Следовательно, g=(.

Теорема 1.4. Пусть ( — алгебраический элемент степени n над полем P
(((P) и g — его минимальный полином над P. Тогда:

(а) полином g неприводим в кольце P [x];

(b) если f (() = 0, где f ( P[x], то g делит f;

(с) фактор-кольцо P [x]/(g) изоморфно кольцу P [(];

(d) P [x]/(g) является полем;

(е) кольцо P [(] совпадает с полем P (().

Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце P [x], т. е. существуют в P[x] такие полиномы ( и h, что g = (h, 1(deg (, deg h1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полиномов P [x]и h(() (0. Требуется представить элемент f(()/h(()(P(() в виде линейной комбинации степеней элемента (, т. е. в виде (((), где ((P[x].

Эта задача решается следующим образом. Пусть g — минимальный полином для
( над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над P и h(() ( 0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g — взаимно простые. Поэтому существуют в P[x] такие полиномы u и v, что uh+vg=1 (1)
Поскольку g(() = 0, из (1) следует, что u(()g(() = 1, 1/h(() = u(().
Следовательно, f(()/h(() = f(()u((), причем f,u (P[x] и f(()u(()(P[(].
Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(()/h(() .

Пример.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

[pic].
Решение. В нашем случае (=[pic]. Минимальным многочленом этого числа является p(x)=x3-2.
Многочлены p(x) и g(x)=-x2+x+1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены ( и (, что p(+g(=1.

Для отыскания ( и ( применим алгоритм Евклида к многочленам p и g:

-x3-2 -x2+x+1 -x2+x+1 2x-1 x3-x2-x -x-1 -x2+1/2x -1/2x+1/4 x2+x-2 1/2x+1 x2-x-1 1/2x-1/4

2x-1 5/4
Таким образом, p=g(-x-1)+(2x-1), g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Откуда находим

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4) или p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x2+x-1))=1, p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.
Таким образом,

((x)= (2/5x2+1/5x+3/5).

Тогда

((()=(([pic])=[pic].

Следовательно

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: титульный лист реферата, диплом.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки