Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

a1=a2=1/2; b1=b2=1(

В то время как для модификационного метода Эйлера

a1=0( a2=1( b1=b2=1/2(

Формулы 1(9( 1(10( 1(11 описывают некоторый метод типа Рунге-Кутты(
Посмотрим( какого порядка метод можно рассчитывать получить в лучшем случае и каковы допустимые значения параметров a1( a2( b1 и b2 (

Чтобы получить соответствие ряду Тейлора вплоть до членов степени h( в общем случае достаточно одного параметра( Чтобы получить согласование вплоть до членов степени h2( потребуется еще два параметра( так как необходимо учитывать члены h2fx и h2ffy( Так как у нас имеется всего четыре параметра( три из которых потребуются для создания согласования с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h2( то самое лучшее( на что здесь можно рассчитывать - это метод второго порядка(

В разложении f(x(y) в ряд 1(5 в окрестности точки xm(ym положим x=xm+b1h( y=ym+b2hf(
Тогда f(xm+b1h(ym+b2hf)=f+b1hfx+b2hffy+O(h2)( где функция и производные в правой части равенства вычислены в точке xm(ym(

Тогда 1(9 можно переписать в виде ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3)(

Сравнив эту формулу с разложением в ряд Тейлора( можно переписать в виде

ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3)(

Если потребовать совпадения членов hf( то a1+a2=1(
Сравнивая члены( содержащие h2fx( получаем a2b1=1/2(
Сравнивая члены( содержащие h2ffy( получаем a2b2=1/2(

Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных( то одно из этих неизвестных можно задать произвольно( исключая( может быть( нуль( в зависимости от того( какой параметр взять в качестве произвольного(

Положим( например( a2=((0( тогда a1=1-(( b1=b2=1/2( и соотношения 1(9(
1(10( 1(11 сведутся к

ym+1=ym+h[(1-()f(xm(ym)+(f(xm+h/2((ym+h/2(f(xm(ym))]+O(h3)

1(12

Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка( При
(=1/2 мы получаем исправленный метод Эйлера( при (=1 получаем модификационный метод Эйлера( Для всех (( отличных от нуля( ошибка ограничения равна

et=kh3

1(13

Методы Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому( как это делалось при выводе методов первого и второго порядков( Мы не будем воспроизводить выкладки( а ограничимся тем( что приведем формулы( описывающие метод четвертого порядка( один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений( Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений

ym+1=ym+h/6(R1+2R2+2R3+R4)

1(14 где R1=f(xm(ym)(

1(15

R2=f(xm+h/2(ym+hR1/2)(

1(16

R3=f(xm+h/2(ym+hR2/2)(

1(17

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сочинение описание, отечественная война реферат.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки