Решение задач на построение сечений многогранников

Категория реферата: Рефераты по математике
Теги реферата: шпоры по физике, ответы на сканворды в одноклассниках
Добавил(а) на сайт: Блок.

2. Для задания точки в пространстве необходимо иметь две её параллельные проекции, полученные при двух различных направлениях проецирования.
Параллельное проецирование делится на:

. Прямоугольное - [pic]=90° ([pic] - угол падения проецирующего луча к плоскости проекций).

. Косоугольное - [pic][pic]90°.
Основные инвариантные (независимые) свойства параллельного проецирования.
При параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (происходит искажение линейных и угловых величин), причём степень нарушения зависит как от аппарата проецирования, так и от положения проецируемой геометрической фигуры в пространстве по отношению к плоскости проекции.
|[pic] |Пример: |
|Рис.4 |[pic](A,B,C,D) [pic][pic] |
| ||AB|[pic]|A[pic]B[pic]|, |
| ||BC|[pic]|B[pic]C[pic]| и т.д. |
| |[pic]|DAB|[pic][pic]|D[pic]A[pic]B[pic]|,|
| |[pic]|ABC|[pic][pic]|A[pic]B[pic]C[pic]| |
| |и т.д. |

Но наряду с этим, между оригиналом и его проекцией существует определённая связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Эти свойства называются инвариантными (проективными) для данного способа проецирования.
В процессе параллельного проецирования (получения проекций геометрической фигуры по её оригиналу) или реконструкции чертежа (воспроизведения оригинала по заданным его проекциям) любую теорему можно составить и доказать, базируясь на инвариантных свойствах параллельного проецирования, которые в начертательной геометрии играют такую же роль, как аксиомы в геометрии.
Следовательно, можно утверждать, что в начертательной геометрии существуют две системы аксиом:

. одна система используется при параллельном проецировании - это суть инвариантные свойства параллельного проецирования.

. другая система используется, когда проекции построены и решается плоская задача (задача на плоскости) - это аксиомы евклидовой геометрии.
Отсюда ясно, насколько важно выяснить и хорошо усвоить эти инвариантные свойства.
[pic]
1. Проекция точки есть точка.
2. Проекция прямой линии на плоскость есть прямая линия.
(Для всех прямых, не параллельных направлению проецирования, проекция прямой есть прямая.)
3. Если в пространстве точка инцидентна (принадлежит) линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии.
Следствие: Если прямые пересекаются в точке K, то проекции прямых пересекаются в проекции точки - K[pic].
4. Проекции взаимно параллельных прямых также взаимно параллельны.
5. Отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков.
6. Если плоская фигура параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в конгруэнтную фигуру.
При параллельном переносе плоскости проекций величина проекций не изменится, следовательно, мы можем не рисовать положение плоскости проекций.
[pic]
Для построения обратимого чертежа необходимо иметь две взаимосвязанные проекции оригинала.
Поэтому только прямоугольное (ортогональное) проецирование, по крайней мере, на две взаимно перпендикулярных плоскости проекций является основным методом построения технического чертежа (метод Монжа).
Ортогональное (прямоугольное) проецирование обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным (косоугольным) проецированием.
К ним в первую очередь следует отнести:

. простоту геометрических построений для определения ортогональных проекций точек

. возможность при определённых условиях сохранять на проекциях форму и размеры оригинала.
Поэтому этот метод удобен для простановки размеров.

(http://www.ssau.ru/books/gubanov/lection1.htm)

Пересечение многогранников плоскостью.

Многогранником называется пространственная фигура, ограниченная замкнутой поверхностью, состоящей из отсеков плоскостей, имеющих форму многоугольников.
Стороны многоугольников образуют рёбра, а плоскости многоугольников - грани многогранника.
Поэтому задачу по определению линии пересечения поверхности многогранника плоскостью можно свести к многократному решению задачи по нахождению: а) линии пересечения двух плоскостей (граней многогранника и секущей плоскости)

или

б) точки встречи прямой (рёбер многогранника) с секущей плоскостью.

(http://www.ssau.ru/books/gubanov/lection1.htm)
|Основной типовой задачей на эту тему в |[pic]1) |
|школьной программе является построение | |
|сечения, по трем, заданным на поверхности | |
|многогранника, точкам, принадлежащим секущей | |
|плоскости. | |
|Алгоритм построения такого сечения следующий: | |
|1) Выбираем наиболее подходящую грань | |
|многогранника для построения на ее плоскости | |
|(далее плоскость основания) (т.е. плоскости к | |
|которой принадлежит выбранная грань) следа | |
|секущей плоскости. Для данных | |

целей наиболее подходящей является грань, на ребра которой можно опустить проекцию от каждой заданной точки.
(На картинке: M((ASE); K((ESD); N((BSC). В данном примере наиболее подходящей является грань (ABCDE))
|2)Проецируем каждую заданную точку на плоскость |[pic]2) |
|основания. Существует два возможных вида | |
|проециро-вания: центральное и параллельное. | |
|Центральное проецирование, как правило, | |
|используется при построении сечений пирамид, а | |
|вершина пирамиды, при этом является центром | |
|проекции. Параллельное проецирование | |
|используется при построении сечений призм. | |
|(в данном примере используем центральное | |
|проецирование. Опускаем из вершины S к плоскости| |

проекций проецирующие лучи:(SM),(SK),(SN). Назовем получившиеся при пересечении проецирующих лучей с ребрами, образованными основанием и боковыми сторонами пирамиды: M’, K' и N’, соответственно.)
|3)Пересекаем прямую, образованную двумя |[pic]3) |
|заданными точками, с прямой образованной | |
|проекциями этих же точек.(MK и M’K’). | |
|Полученная точка (P1) принадлежит следу | |
|секущей плоскости на плоскости основания. | |
|Находим вторую точку (P2) и строим прямую | |
|(след секущей плоскости). | |
|4) Далее, для нахождения точек пересечения с|[pic]4) |
|ребрами многогранника, от точки пересечения |[pic]5) |
|ребра с плоскостью основания проводим | |
|прямую, проходящую через проекцию, заданной | |
|в условии задачи точки (AK’). От точки | |
|пересечения этой прямой со следом секущей | |
|плоскости (K”) проводим прямую (K”K), | |
|проходящую через точку, проекция которой | |
|перед этим использовалась. Пересечение этой | |
|прямой с ребром, на котором ищется | |
|пересечение с плоскостью сечения, является | |
|искомой точкой (A’). | |
|5) соединяем все найденные точки. | |

Примеры задач.

1) Постройте сечение куба плоскостью проходящей через точки, указанные на рисунке

[pic]

2) Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, через точки, указанные на рисунке.

[pic]

3) Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки, указанные на рисунке.

4) Меньший куб поставлен на больший таким образом, что они имеют общую вершину и их грани параллельны. Постройте сечение полученной фигуры плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на скрещивающихся ребрах меньшего куба.

Решение:
1)
|А) проводим линию пересечения|[pic] |
|с гранью куба (АВ) | |
|Б) проводим параллельную ей | |
|(АВ)на противолежащей грани | |
|(ЕС) | |
|В) проводим ЕА | |
|Г) проводим прямую BD||EA | |
|Д) Соединяем D c C | |
|Сечение (ABDCE) построено. | |

2)
|А) проецируем на плоскость |[pic] |
|основания, путем центрального | |
|проецирования из вершины, | |
|точки В и С, получая точки: B’| |
|и C’. | |
|Б) пересекаем прямые B’C’ и | |
|BC, находим точку P’ | |
|В) пересекаем AP’ и D’C’, | |
|находим точку D”. | |
|Г) пересекаем D”C и SD’, | |
|находим D | |
|ABDC – сечение. | |

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки