Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского.

Функцию, определённую на парах  точек некоторого множества  и обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в .

Множество  вместе с фиксированной в нём метрикой называют метрическим пространством.

Таким образом, мы превратили  в метрическое пространство, наделив  метрикой, заданной соотношением (1).

Из соотношения (1) следует, что при

                                  (2)

т. е. расстояние между точками  мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.

Из (2), как и из (1), видно, что при  множество  совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.

ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В

Определение 1. При  множество

называется шаром с центром  радиуса  или также -окрестностью точки .

Определение 2. Множество  называется открытым в , если для любой точки  найдётся шар  такой, что .

Пример 1.  – открытое множество в .

Пример 2.  – пустое множество – вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е.  – открытое множество в .

Пример 3. Шар  – открытое множество в .

Действительно, если , т. е. , то при  будет , поскольку

.

Пример 4. Множество , т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной точки  на расстояние больше чем  является открытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника для метрики.

Определение 3. Множество  называется замкнутым в , если его дополнение  в  является множеством, открытым в .

Пример 5. Множество , т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной точки  не больше чем на , является замкнутым, что следует из определения 3 и примера 4. Множество  называют замкнутым шаром с центром  радиуса .

СФЕРА .

Сфера – множество  точек  евклидова пространства , находящихся от некоторой точки (центр сферы) на постоянном расстоянии (радиус сферы), т. е.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: сеть рефератов, бесплатные рассказы.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки