Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата

Если 2 - H-отображение, то для любого Iсуществует такой J, что 2(xI) = xJH. То есть 12(xI) = x(JH)H = xJ.

Следовательно,  = 12 - симметрия многогранника P и jSH.

Если же jSH, то для любого I существует такой J, что (xI)=xJ. Следовательно, 2(xI) =1-1(xI) = 1-1(xJ) = 1(xJ) = xJH

Значит, 2 - H-отображение. Данная лемма дает возможность свести поиск представителя класса SH к поиску одного H-отображения. Причем, если H-отображений для данного H не существует, то SH=.

Поиск H-отображения существенно упрощается с помощью следующего предложения.

Предложение 1. Матрица H-отображения  булева.

Доказательство. Так как {ej} для любого j{1n}, то ,по определению H-отображения, вектор (x{ej}), являющийся j-м столбцом матрицы отображения, булев, что и требовалось доказать.

3.  Понижение размерности задачи на системе независимости

Рассмотрим оптимизационную задачу (1) и перейдем к полиэдральной постановки этой задачи

(2)

где v - это вектор, компоненты которого - веса соответствующих элементов. Очевидно, что решение задачи (2), при условии "поиска по вершинам", будет являться вектором инциденций решения задачи (1). Кроме того, если существует симметрия многогранника P с матрицей A и сдвигом h, и x* решение задачи

(3)

то вектор x = Ax*+h - решение задачи (2).

Предложение 2. Пусть (x) = Ax+xH - симметрия многогранника P и v - произвольный вектор с положительными компонентами. Тогда вектор vTA имеет по крайней мере H неположительных компонент.

Доказательство. По лемме 2, симметрия  представима в виде суперпозиции отображений 1, описанного в лемме 2, и H-отображения 2. Матрица A является произведением матриц преобразований 1 и 2. Так как HHH , то существует такое множество I, что 2 (xI) = xH. Причем, так как любое подмножество H принадлежит H, то в силу линейности 2, IH. Следовательно, матрица преобразования 2 принимает вид

Здесь I и H - столбцы и строки, соответствующие элементам из этих множеств, а блок B - некоторая булевa матрица. При умножении матрицы преобразования 2 на матрицу преобразования 1 блок B заменяется на блок (-B). Затем, при умножении вектора vT на матрицу A, получается вектор, у которого компоненты, соответствующие элементам множества I, неположительные. Очевидно, что элементы, имеющие неположительные веса, не принадлежат оптимальному множеству задачи (3). Следовательно, исключая из рассмотрения эти элементы, переходим к задаче

(4)

где v* = vTA, D-совокупность элементов, у которых соответствующие компоненты вектора v* неположительные. Вектор инциденций решения этой задачи есть оптимальный вектор задачи (3). Причем, по предыдущему предложению, размерность задачи (4) не больше, чем E-H.

Пример 1. Пусть E = {1,2,3,4}, - система независимости, базисы которого являются множества {1,2,3} и {3,4}. Пусть H={1,3}. Тогда матрица H-отображения принимает вид

a симметрия многогранника системы независимости -

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: реферат экологические проблемы, современные рефераты.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки