Рефераты | Рефераты по математике | Собственные значения |
0 |
||||
|
* |
* |
* |
* |
* |
0 |
|
* |
* |
* |
* |
* |
* |
|
* |
* |
* |
* |
* |
* |
Приведя симметричную матрицу к трехдиагональному виду методом Гивенса или Хаусхолдера, необходимо найти ее собственные значения. Чтобы ясней были достоинства трехдиагональной формы, сформулируем задачу о собственных значениях в виде
dеt(А—l E) = 0,
где А — симметричная трехдиагональная матрица. Раcкрыв выражение в скобках, получим
|
a1 - l |
b2 |
0 |
||
|
b1 |
a2 - l |
= 0 |
||
|
bn |
||||
|
0 |
bn |
an - l |
Произвольный определитель порядка п можно выразить через п миноров порядка п — 1, каждый из которых в свою очередь выражается через п — 1 миноров порядка п — 2. Удобство трехдиагональной формы в том, что на каждом шаге все миноры, кроме двух, оказываются равными нулю. В результате исходный определитель представляется последовательностью полиномов
fm(l ) = (am - l ) fm-1 (l ) – b2 m fm-2(l ).
Приняв
f0 (l ) = 1 и f1 (l ) = a1 - l при r = 2, .... п,
получим совокупность полиномов, известную как последовательность Штурма и обладающую тем свойством, что корни полинома fj (l ) располагаются между корнями полинома fj+1 (l ). Поэтому для f1 (l ) = a1— l можно утверждать, что значение l К = а1 заключено между корнями полинома f2 (l ) == (a2 — l ) (a1 — l ) —b22. Это облегчает итерационное определение корней полинома, так как если известны границы интервалов, в которых лежат значения корней полинома, то их можно найти методом половинного деления. Так последовательно находят корни всех полиномов, и последний из них fn (l ) дает все искомые п собственные значения. Эту процедуру можно проиллюстрировать графически (см. рис. 3).
Последовательность Штурма обладает еще и таким свойством: для любого значения b, при котором fn (b) <> 0, число собственных значений матрицы A, больших b, равно числу изменений знака последовательности
1, f1 (b), f2 (b), … , (1)n fn (b).
Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: доклади по биологии, рефераты по политологии.
