Статистическое определение вероятности.

Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость более часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n-достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать число выпадений трех очков n3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n3/n – относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов – единицы, двойки, четверки и т.д. Теоретически такой образ действий можно оправдать, если ввести статистическое определение вероятности.

Вероятность P(wi) определяется как предел относительной частоты появления исхода wi  в процессе неограниченного увеличения числа  случайных экспериментов n, то есть

   ,

где mn(wi) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода wi.

Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем только надеяться, что предел в последней формуле существует, обосновывая надежду жизненным опытом и интуицией.

В практике очень часто возникают задачи, в которых какой-либо другой способ определения вероятности события, кроме статистического определения, найти невозможно или крайне трудно.

Непрерывное вероятностное пространство.

Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). Так несчётное множество исходов имеет эксперимент, состоящий в случайном бросании точки на отрезок [a1; a2]. Можно себе представить, что эксперимент, заключающийся в измерении температуры в заданный момент в заданной точке тоже имеет несчётное число исходов (действительно, температура может принять любое значение из некоторого промежутка, хотя в действительности мы можем измерять её лишь с определённой точностью, и практическая реализация такого эксперимента даст конечное число исходов). В случае эксперимента с несч ётным множеством W элементарных исходов нельзя считать любое подмножество множества W событием. Следует заметить, что подмножества W, не являющиеся событиями, являются математическими абстракциями и не встречаются в практических задачах. Поэтому в нашем курсе данный параграф является необязательным.

Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств  пространства элементарных исходов W.

В случае выполнения двух условий:

1) из принадлежности А этой системе следует принадлежность  этой системе;

2) из принадлежности и  этой системе следует принадлежность AiAj  этой системе

такая система подмножеств называется алгеброй.

Пусть W — некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системы подмножеств:

1) W, Æ; 2) W, А, , Æ (здесь А— подмножествоW) являются алгебрами.

Пусть A1 и A2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A1 A2 и  принадлежат этой алгебре.

Назовём s-алгеброй систему Á подмножеств множества W, удовлетворяющую условию 1) и условию 2)¢:

2)¢ если подмножества А1, А2,¼, Аn, ¼принадлежат Á, то их счётное объединение  (по аналогии с суммированием это счётное объединение кратко записывается формулой ) тоже принадлежит Á.

Подмножество А множества элементарных исходов W является событием, если оно принадлежит некоторой s-алгебре.

Можно доказать, что если выбрать любую счётную систему событий, принадлежащих некоторой s-алгебре и проводить с этими событиями любые принятые в теории множеств операции (объединение, пересечение, взятие разности и дополнения), то результатом будет множество или событие, принадлежащее той же s-алгебре.

Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.

Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А) обладает следующими свойствами:

1) Р(W)=1

2) если события A1, A2,..., An, ¼ несовместны, то

  =

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: банк курсовых, налоги в россии.



1  2  3  4 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки