Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

Изобретение доказательства - квант эволюции. Фалес открыл новый горизонт, золотую жилу. Доказательство - это способ производства формул. Количество формул - объектов предыдущего уровня - стало быстро расти, а затраты на рождение формулы уменьшились. Как всегда, вместе с новым полем деятельности возникла новая каста - каста людей, умеющих формулировать и доказывать теоремы.

В доказательствах геометрических теорем появились аксиомы. Аксиомы геометрии опираются на фундаментальные понятия порядка, движения, тождества, непрерывности. Применение аксиом предполагает использование процедур логического вывода. Логический вывод представляет собой последовательность утверждений, которые выведены из аксиом и/или из ранее выведенных утверждений. Аксиомы и только они принимаются без вывода, т.е. без доказательства.

Малограмотная формулировка: "Аксиома не требует доказательства".

Логический вывод доставил возможность получения из достоверных знаний новых достоверных знаний.

Аксиомы (первоначально) - это модели, инвариантные относительно ассоциаций (игры воображения); конструкции, имеющие опору в нейронных понятиях ниже того горизонта, который подвержен работе воображения с доступными ему конструктивами. Аксиома - не результат, а форма познания действительности, - модель, выработанная в процессе эволюции.

Возникновение концепции доказательства преобразовало всю жизнь западного человечества, дав его мыслящей части инструмент для защиты от апелляции к очевидности. Концепция доказательства была и будет барьером, отделяющим Homo profanus от Homo argumentorum. Этот барьер не могут преодолеть обе стороны. И это хорошо, иногда для обеих сторон.

Доказательство заняло место формулы на вершине эволюционного древа мыслительной деятельности. Дедуктивный метод стал укором и мечтой для гуманитариев, недаром Спиноза построил свою "Этику" по образцу "Начал" Евклида. Дух Евклида - это дух школы Платона, его теории идей.

Греческая математика

Греки действовали в жестких идеологических рамках: они искали в мире воплощение совершенных идей, строили мир из правильных многоугольников и многогранников, правильных отношений музыкальной гаммы, закономерностей чисел. Пифагорейская мистика совершенных чисел и фигур оказала и оказывает мощное влияние на науку. Пифагореизм настолько пронизывает нашу (западную) культуру в целом, что мы его не замечаем и не знаем, что "говорим прозой" по Пифагору.

Греки полагали, что утверждения математики абсолютно точны и достоверны, тогда как данные опытного знания приблизительны, обманчивы и недостоверны: даже равенство двух отрезков может быть доказано не измерением, а рассуждением. "Приближенными вычислениями стыдно заниматься свободному человеку, они - удел раба".

"При помощи математики очищается и получает новую жизненную силу орган души, в то время как другие занятия уничтожают его и лишают способности видеть, тогда как он значительно более ценен, чем тысяча глаз, ибо только им одним может быть обнаружена истина". Платон

Греки использовали в доказательствах только геометрически наглядные средства, а не буквенные символы. Поразительно, что в рамках столь трудной геометрической алгебры им удалось получить так много результатов. В Новое время Ньютон следовал греческой традиции, а Лейбниц - нет.

Математический язык

Величины в геометрии отличали от чисел в арифметике: величины именовали длинами, квадратами и кубами и использовали как именованные. Алгебраическая буквенная символика возникла в арифметической алгебре из стандартных (и сокращенных) словесных обозначений. Языки геометрии и арифметической алгебры существовали параллельно.

Декарт (1596 - 1650) построил над языками геометрической и арифметической алгебры новый язык - алгебраический. Синтаксис нового языка похож на синтаксис языка арифметической алгебры, семантика - на семантику языка геометрической алгебры.

Декарт превратил процесс в объект: отношение величин (процесс) стало рациональным или иррациональным числом (объектом). Тем самым Декарт совершил квантовый эволюционный переход к абстрактному понятию числа, переход, оказавшийся не под силу грекам. Введенное Декартом понятие числа было языковым конструктом, а не пространственным образом. Декарт принципиально изменил содержание доказательства: отныне геометрическим образам осталась роль иллюстраций, они перестали быть средствами доказательства.

Буквенная символика открыла вход в математику поверх барьеров геометрической алгебры и словесных обозначений. Книгопечатание окончательно сделало математику доступной всей массе образованных людей. Стали обычным делом публичные состязания в доказательствах.

Через полвека благодаря Декарту Лейбниц и Ньютон совершили следующий квантовый переход.

Математическое доказательство в Новое время

Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения и трех законов движения. Математическое доказательство привело к открытию закона природы. Ньютон пользовался геометрическим языком, и обозначения его "Начал" не повлияли на математическую технологию. Предложенные Лейбницем эффективные обозначения открыли поле деятельности, на котором за триста лет было доказано невероятное количество теорем в созданных на основе новых понятий производной и интеграла многочисленных новых отраслях математики.

Ни отцы-основатели, ни их последователи не могли обосновать свои результаты, оправдывали их только приносимой ими удачей. Вакханалия использования нечетких понятий и методов приводила к неверным результатам, спорам и сомнениям. Выдающимся источником неприятностей была теория пределов с ее свободным обращением с бесконечностью. Блестяще выразился о новой математике Вольтер: "Искусство считать и точно измерять то, существование чего непостижимо для разума". Все попытки выйти из положения, даже предпринятые Эйлером и Лагранжем, потерпели полную неудачу. Внутренняя дисциплина в математике к середине XIX века упала настолько, что Кэли, приведя формулировку теоремы для квадратных матриц и проверив ее для матриц 2х2, не счел "необходимым обременять себя формальным доказательством теоремы в общем случае матрицы любого порядка" и призвал просто поверить ему.

Трудности коренились в том, что новые понятия находились на более высоком уровне абстракции. Грекам было легче, их понятия были ближе к (презираемому!) опыту, а те понятия, которые доставили столько волнений в Новое время, хитроумные греки обходили. Новые понятия были уже не обобщением опыта, а созданием разума, лишенным привычной опоры в наглядности. Язык формул обладал не только притягательной, но и производительной силой.

Героическая эпоха! Не до строгости, когда друзья и недруги рвутся вперед.

Только к концу XIX века в математическом анализе и в алгебре был наведен формальный логический порядок, иными словами, положение было исправлено настолько, что стала возможной дальнейшая критика.

Аксиоматический метод

Формализация математики привела к уточнению определений и аксиом, к логической инвентаризации орудий математического мастерства. Одной из задач в наведении порядка была задача минимизации списка аксиом, исключения из него тех утверждений, которые могли быть выведены из остальных как теоремы.

Попытка этим путем исключить из аксиом геометрии Евклида аксиому о параллельных не удалась. Тогда попытались доказать, что замена этой аксиомы ее отрицанием приведет к тому, что в такой "неевклидовой" геометрии будут получены противоречия, что и "докажет" аксиому Евклида. Противоречия получить не удалось, более того, семейство неевклидовых геометрий стало пополняться. Неевклидовы геометрии противоречили только обыденной интуиции и привычным наглядным представлениям, но были логически безупречны. Попутно выяснилось, наконец, что аксиома о параллельных не зависит от остальных аксиом Евклида.

Гильберт предложил ставший общепринятым вариант аксиоматического построения евклидовой, а заодно и всех остальных геометрий. Этот успех еще раз напомнил о проблеме истинности теории в целом: если существуют разные геометрии и они непротиворечивы, то какая же из них "истинна"? Какая из них имеет место в реальной действительности и как это доказать? И что значит "истинная геометрия"? "Что есть истина?"

Уверенность в том, что математика содержит только абсолютные истины, абсолютно доказанные на основе абсолютных аксиом, была подорвана навсегда. В обстановке замешательства, вызванного появлением неевклидовых геометрий, концепции доказательства удалось остаться вне подозрений.

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: матершинные частушки, бесплатные рефераты.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки