Математика хаоса и первые шаги теоретической истории

Анна Шмелева.

На рубеже тысячелетий все чаще приходится слышать об изменении императивов развития цивилизации, глобальных демографических прогнозах и стратегическом планировании будущего человечества. Специалисты обращаются к математическим методам моделирования исторических процессов. Все это – ключевые понятия новой науки о человеческом обществе. Старое название "история" трещит по швам, поскольку прошлое этой наукой изучается наравне с настоящим и будущим. Она имеет дело с сослагательным наклонением, рассматривает особенности, перспективы и тенденции каждого момента и отличает свершившееся от возможного лишь по координатам на шкале времени.

Обычно компьютер в руках историка ассоциируется или с мультимедиа-энциклопедией, или с игрой "Цивилизация". На самом же деле вопрос куда серьезнее. С 1986 года существует Международная ассоциация History and Computing (AHC), имеющая теперь подразделение в России; в университетах Западной Европы введена специализация по профилю History&Computing, а с 1989 года выходит международный журнал по исторической информатике.

В работе AHC выделилось направление, связанное с математическим моделированием истории.

Трудно поверить, что это реально. Традиционно история считалась гуманитарной наукой. Расчетная задача всегда казалась далеко за пределами мыслимых мощностей – не вычислять же, в самом деле, каждую линию человеческой судьбы, каждое столкновение интересов, каждое решение, озарение и ошибку! Тем более, что весь этот коктейль жизни щедро заправлен субстанцией, именуемой стечением обстоятельств или случайностью.

Однако отметим, что историческая случайность – совсем не то, что случайность математическая. Строго говоря, в истории вовсе нет случайности. В математике случайные процессы принято называть также стохастическими (пример – бросание монетки), а сюрпризы, которые дарит нам судьба, обычно имеют совершенно другое происхождение.

Допустим, вы повстречали в метро одноклассника, которого не видели несколько лет. Накануне вы получили зарплату и отправились на метро за давно планируемой покупкой. Обычно вы ездите на троллейбусе, но из-за гололеда решили, что метро будет надежнее... Вы купили магнитную карточку и пропустили один поезд, сверяя часы. Ваш одноклассник, в свою очередь, планировал выехать несколько раньше, но его начальник по скверной своей привычке остановил его на пороге и полчаса проводил дополнительный инструктаж. И вот в результате в разгар дня вы оказались в одном вагоне метро. Случайна ли эта встреча?

С одной стороны, да, ведь вы ее никак не ожидали. С другой же – среди ее причин нет ни одного случайного, с математической точки зрения, события. Никто из вас, принимая решение, не кидал монетку. Каждый ваш шаг чем-то объяснялся и сам объяснял то, что произошло в дальнейшем. Вы сели в последний вагон поезда, чтобы оказаться ближе к выходу, а он – потому что спешил и вбежал в двери в последний момент. Вы сверяли свои часы, поскольку они у вас ходят не очень точно, и купили двухразовую карточку потому, что редко пользуетесь метро.

Что-то подобное можно сказать и о вашем знакомом, и о машинисте поезда, и о каждом человеке, который повстречался вам по пути. Даже погода в тот день – и та имела свою логику и свои причины. Но в целом переплетение причинно-следственных связей оказалось таким причудливым, что предсказать эту встречу заранее было бы, пожалуй, невозможно.

Мне показалось, что этот пример помогает понять разницу между случайностью и хаосом. Главное в нем не то, что мы физически не можем учесть массу влияющих друг на друга житейских обстоятельств. Тогда мы утешали бы себя мыслью, что вообще-то теоретически задача решается, просто наш вычислительно-мыслительный аппарат пока несовершенен. Ну ничего, пройдет год-два, поставим процессор помощнее и жесткий диск побольше, научимся вводить туда и свои долговременные планы, и свой характер, и свои привычки; добавим те же сведения о знакомых, учтем экономическую ситуацию в стране, расписания общественного транспорта и прогнозы погоды. Вооружим компьютер всеми необходимыми данными, и тогда можно будет рассчитать календарь внезапных встреч на месяцы вперед с точностью до десяти минут.

Представьте себе: открываете утром свой ежедневник, а там пометка: сегодня вы встретите в метро человека, вывод сделан на основе анализа ваших текущих дел и таких-то данных за прошлые годы... Фантастика, но почему бы не помечтать?

Так вот – лучше и не мечтать напрасно. Наука о сверхсложных системах (к числу которых относится и человеческое общество) склоняется к выводу о теоретической невозможности точных предсказаний такого рода. Стоит сказать, что действия в этом направлении уже предпринимались – например, экологами, причем большими силами и на самой современной технике.

В одной из своих статей Г. Г. Малинецкий (ИПМ РАН им. М. В. Келдыша) упоминает масштабный американский проект "Биосфера", когда попытка "сложить мозаику" из большого количества известных данных привела к результатам, "не допускающим какой-либо разумной интерпретации". Можно, конечно, объяснять неудачи тем, что учтено-таки было не все, и анализ мог бы быть еще мощнее, но, скорее всего, тут кроется более глубокая закономерность.

Древние греки считали, что мир начинался с хаоса. Согласно современным историческим подходам, он и теперь во многом хаотичен. "Непредсказуемое поведение того или иного динамического ряда, – говорится, например, в статье М. В.

Таранина (МФТИ), – может быть либо следствием случая, либо следствием того, что процесс описывается хаотической системой уравнений". При этом совершенно не обязательно, чтобы число характеристик системы и закономерностей ее жизни было огромным. Даже система из трех уравнений может содержать хаотический сигнал в качестве решения! Именно "хаотические" системы используются при математическом моделировании исторических процессов.

Кстати, в приведенном мной примере не было доказано, что мы действительно имели дело с хаотической системой. Это только предположение, хотя и похожее на правду. Но чтобы доказать его строго, мне следовало бы формально описать и саму систему, и интересующее нас событие в ней. Результаты "проверки на хаос" считаются положительными при обнаружении в фазовом пространстве системы так называемого странного аттрактора.

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО – в классической механике и статистической физике – это многомерное пространство, на осях которого откладываются значения обобщенных координат и импульсов всех частиц системы; таким образом, число измерений фазового пространства равно удвоенному числу степеней свободы системы. Состояние системы изображается точкой в фазовом пространстве, а изменение состояния во времени – движением точки вдоль линии, называемой фазовой траекторией.

Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия, www.km.ru.

Аттрактор, в свою очередь, является странным, если имеет положительный показатель Ляпунова и дробную размерность. Показатель же Ляпунова... но тут, вероятно, мне надо остановиться и отослать заинтересованного читателя к учебнику нелинейной динамики. Главное сказано: хаос имеет свои законы.

Следующим примером я постараюсь показать эти законы в действии.

Одна из самых перспективных математических моделей, используемых сейчас историками, разработана профессором Штутгартского университета Вольфгангом Вайдлихом в начале 90-х годов. В классической модели Вайдлиха уравнений всего два, и они связывают между собой лишь две переменные.

Вообще-то число степеней свободы для человеческого общества стремится к бесконечности, просто историки научились выделять первостепенное. Модель применима к рассмотрению экономической или политической ситуации; она, например, адекватно описывает политику президента СССР в период перестройки.

Однако то, что мы видим на рисунке – не расчеты для конкретного общества, а лишь пример. Это фазовый портрет модифицированной модели Вайдлиха, рассмотренный группой исследователей (А. О. Короткевич, С. А. Плуготаренко и другие) под руководством доктора исторических наук Л. И. Бородкина (МГУ). На этой плоскости в виде точек видны все моменты (фазы) жизни одного гипотетического общества, все, что в нем происходило, происходит и будет происходить, а также все, что возможно или было возможно. Точки выстраиваются в фазовые траектории – это судьбы страны, пути ее развития. Все они одинаково вероятны. Но в каждый момент времени реально осуществляется лишь один.

Согласно модели Вайдлиха, переменная X трактуется как степень влияния и участия народа в демократических процессах принятия решений, а переменная Y – как степень силы и власти правительства (возможны и другие применения модели, например, когда макропеременные характеризуют экономическую, а не политическую ситуацию). Гипотеза авторов работы состояла в том, как выглядят уравнения с участием Х и Y. Эти уравнения были затем численно решены:

a(x)=exp(-k(x - s/2)**2) - 0,5

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки