Диалектика развития понятия функции. Различные подходы к изучению функций в школе и исследования с помощью ЭВМ.
Категория реферата: Рефераты по педагогике
Теги реферата: шпори по математиці, дипломная работа аудит
Добавил(а) на сайт: Толкачёв.
1
СОДЕРЖАНИЕ :
Стр.
1. Краткий обзор развития понятия числа.........................................3
2. Определение функции........................................................................4
3. Общее определение функции в XIX в.
Дальнейшее развитие понятия функции.........................................7
4. Изучение функций в школе.............................................................10
5. Исследование функций с помощью ЭВМ.....................................15
6. Заключение........................................................................................17
7. Список использованной литературы............................................19
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и тому подобного. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.
С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия “больше”, “меньше”, “столько же” или “равно”. Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека.
С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. Ее возникновению и развитию способствовали практические потребности ? строительство разнообразных сооружений, торговля и мореходство. Долгое время в арифметике имели дело с числами относительно небольшими. Например, в системе счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название, была “мириада” ? 10 000. Еще в III в. до н. э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Вот тогда-то Архимед в своем трактате “Исчисление песчинок” ? “Псаммит” разработал систему, которая позволяла выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен.
Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному. Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей день.
В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через ? 2. Ученые того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа. Они нашли выход в том, что под числами стали понимать длины отрезков прямых.
Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную роль в дальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры.
Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.
Таким образом, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные. Но на этом развитие не завершилось. В связи с решением уравнений математики встретились с числом, которое выражалось ? ?1. Оно получило название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавались за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745-1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые “мнимые числа” получили свое место в множестве комплексных чисел. Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера, которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковывали геометрически.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.
Те вавилонские ученые, которые 4?5 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции. Другим примером могут служить тригонометрические таблицы, составление которых началось задолго до начала нашей эры. Особый интерес представляют таблицы синусов Беруни, в которых дано правило линейного интерполирования. В современной символике его можно выразить так:
sin x = sin x0 + (x ? x0)?(sin (x0 + 15?) ? sin x0)
15?
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В “Геометрии” Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых ? функции от абсцисс (х); путь и скорость ? функции от времени (t) и тому подобное.
Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей “Геометрии” лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения ? формулы.
Слово “функция” (от латинского functio ? совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение “функция от х” стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа” (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак ? х, называя ? характеристикой функции, а также буквы х или ?; Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : y, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Наряду с ? Эйлер предлагает пользоваться и буквами ?, ? и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, ? t, ? (t + s).
Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: “Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных”.
Леонард Эйлер во “Введении в анализ бесконечных” (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: “Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную “свободным влечением руки”. В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебаний струны.
В “Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер дает общее определение функции: “Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых”. “Это наименование, ? продолжает далее Эйлер, ? имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других”. На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем “Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению”, опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: “Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому”.
Как видно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.
ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ В XIX в.
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
Одним из нерешенных в XVIII в. вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями ?
Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг. по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.
Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”, опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.
В 1834 г. в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: “Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”.
Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: “у есть функция переменной х (на отрезке a ? х ? b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие ? аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами”.
Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая “функция Дирихле” ? (х):
? 1 для всех рациональных значений х
? (х) = ?
? 0 для всех иррациональных значений х
Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.
Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В ? значениями функции; во втором случае х ? прообразы, у ? образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка a ? x ? b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n !, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.
Вот простой пример (рис. 1). Пусть х1х2х3 ? треугольник, d ? прямая в плоскости треуголь- ника, рассматриваемая как ось симметрии. Каждой точке х (х1, х2, х3, х4,...), лежащей внутри или на сторонах треугольника, ставим в соответствие точку у (у1, у2, у3, у4,...), определенную указанным преобразованием симметрии. Таким образом, множество точек треугольника х1х2х3 отображено на множест- во точек треугольника у1у2у3.
Налицо имеется функция у = f (х), заданная на множестве х (значения аргумента, прообразы) точек треугольника х1х2х3. Это так называемая “область определения функции”. Симметричный треугольник у1у2у3 представляет множество у значений функции (образов). Характеристика f функции в данном случае указывает на осевую симметрию относительно данной прямой d.
Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшим классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги “Основы квантовой механики” Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателя квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30?40-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а “функции области”, что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например, температуру тела в точке практически определить нельзя; в то время как средняя температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл.
В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л. Шварца ? И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и другие.
Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика ? незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.
ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЕ
Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Это понятие в дальнейшем играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа. Начиная с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции. В более старших классах вводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные и логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел.
В настоящее время, на волне педагогического поиска, стало появляться множество экспериментальных учебников для использования в школе. Наряду с добротными, толково написанными учебниками, в школы стала попадать, под предлогом апробации, масса учебников с довольно вольной трактовкой учебного материала, в том числе и глав, касающихся изучения функций. Часто нарушается логический порядок следования изучаемых разделов, допускаются ошибки при построении графиков, материал необоснованно упрощается, примитивизируется или наоборот, чрезмерно перегружается терминами и символикой.
Но тем не менее, в настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. Сложившись исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций, в средних классах школ.
Вот как, примерно, реализуется индуктивный подход к изучению понятия функции в 7 классе:
“На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.
В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.
Рассмотрим примеры.”
Далее следуют примеры призванные наглядно продемонстрировать только что изложенный материал.
П р и м е р 1. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2.
Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.
Так,
если a = 3, то S = 32 = 9;
если a = 15, то S = 152 = 225;
если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.
Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой
S = a2 0).
Затем дается первое определение зависимой и независимой переменных:
“Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями a, ? зависимой переменной”.
“ П р и м е р 2. На рисунке 2 изображен график температуры воздуха в течении суток.
С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 ? t ? 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия). Например,
если t = 6, то p = ?2;
если t = 12, то p = 2;
если t = 17, то p = 3;
Здесь t является независимой переменной, а p ? зависимой переменной.
П р и м е р 3. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m ? соответствующая стоимость проезда в тысячах рублей):
По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2,..., 9, можно найти соответствующее значение m. Так,
если n = 2, то m = 1.5;
если n = 6, то m = 4 ;
если n = 9, то m = 8.5;
В этом случае n является независимой переменной, а m ? зависимой переменной.”
Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором ? графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что для них он не будет абсолютно новым ? они уже сталкивались с этим ранее.
Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и значение функции.
“В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.”
Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное полное и сжатое изложение учебного материала, пускай даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” в соответствии с дедуктивным подходом:
1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.
2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х).
3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у ? зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.
4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.
5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.
6. Для функции f приняты обозначения: D ( f ) ?область определения функции, E ( f ) ? множество значений функции, f (х0) ? значение функции в точке х0.
7. Если D ( f ) ? R и E ( f ) ? R, то функцию называют числовой.
8. Элементы множества D ( f ) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E ( f ) ? значениями функции.
9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты ? соответствующим значениям функции.
Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры ? идет усвоение нового материала.
Рассмотренные выше подходы к изучению функций в школе не охватывают все многообразие способов и методов изучения этого понятия. Они лишь являются основными, наиболее разработанными подходами к вопросу об изучении функций в школе, ориентируясь на которые можно разрабатывать новые, специфические методы обучения, которые были бы лишены недостатков вышеперечисленных подходов и были бы следующим шагом в деле обучения математике в школе.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ЭВМ
История алгебры насчитывает не одну тысячу лет, и все открытия и достижения в этой области человеческого знания были получены только с помощью тяжелого умственного труда, не в последнюю очередь связанного с огромным объемом вычислений, которые приходилось производить, часто неоднократно, для получения желаемых результатов. Многим известным математикам, от древности и вплоть до нашего века, приходилось содержать целый штат вычислителей, которые выполняли огромный объем второстепенных вычислений, давая возможность ученому заниматься непосредственно развитием математической науки.
С развитием математических представлений об окружающем мире многие расчеты и вычисления многократно усложнились, так что целые коллективы вычислителей тратили иногда не один месяц на выполнение каких-либо расчетов. К тому же с усложнением вычислений неизбежно увеличивалось количество непроизвольно допущенных ошибок.
Счастливым выходом из создавшегося положения явилось изобретение в 1943 г. первой электронно-вычислительной машины. Существовавшие до этого механические вычислители, которые могли выполнять только четыре арифметические операции, не шли ни в какое сравнение с этой, пусть еще не совершенной, вычислительной техникой. Сразу же после прохождения лабораторных испытаний электронно-вычислительные машины (ЭВМ), были применены для научных расчетов в квантовой и ядерной физике. В дальнейшем, по мере развития электроники, каждый научно-исследовательский институт обзаводился собственной ЭВМ. Уже в самом начале своего применения они обеспечивали неслыханную по тем временам скорость вычислений ? несколько тысяч операций в секунду. Это позволило многократно увеличить скорость и точность математических вычислений и подняло труд ученых на качественно новый уровень.
Современные ЭВМ оставили далеко позади те первые, построенные на реле и лампах, машины; в миллион раз производительнее, они позволяют выполнять невероятно сложные расчеты в фантастически короткие сроки: то, над чем сотни вычислителей работали бы несколько месяцев, эти машины способны вычислить за несколько минут.
Учитывая вышесказанное, необыкновенно логичным кажется применение компьютеров для исследования свойств функций. Что и было сделано несколько десятилетий назад. Естественно, для успешного исследования свойств функций потребовался мощный математический аппарат. Наиболее успешным оказался перенос на компьютерную основу методов Лагранжа, Ньютона, Котеса, Симпсона и многих других. За считанные годы компьютер научили строить графики функций, дифференцировать и интегрировать сами функции, кроме этого интерполировать и экстраполировать функции, решать линейные и дифференциальные уравнения и их системы, находить приближающие функции и множество других, не менее важных вещей.
Взять к примеру интерполяционный многочлен Лагранжа. Очень часто на практике имеется какая-либо функциональная последовательность не выраженная в аналитической форме, либо вообще выраженная только графиком или набором пар значений. А требуется получить аналитическое выражение описывающее данный график или таблицу. Имея несколько пар значений функции ? узлов интерполирования, задача найти интерполирующую функцию представляется длительной и трудоемкой, имея же несколько сотен таких узлов ? практически невыполнимой. Компьютер же справляется с этой задачей за считанные секунды.
Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу:
?????????????????
х х0 х1... хn
?????????????????
f (х) у0 у1... уn
?????????????????
При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента х, которое входит в отрезок ? х0 ; хn ?, но не совпадает ни с одним из значений х i ( i = 0, 1,..., n ).
Очевидный прием решения этой задачи ? вычислить значение f (х), воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Этот прием однако, можно применить лишь в случае, когда аналитическое выражение f пригодно для вычислений. Более того, как уже упоминалось выше, часто аналитическое выражение функции f вовсе не известно. В этих случаях как раз и применяется построение по исходной таблице приближающей функции F, которая в некотором смысле близка к функции f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что
f (x) = F (x). (1)
Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f (x) и F (x) в точках хi ( i = 0, 1, 2,..., n), т.е.
F (x0) = y0, F (x1) = y1,..., F (xn) = yn. (2)
Будем искать интерполирующую функцию F (x) в виде многочлена степени n:
Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +... +an-1x + an. (3)
Этот многочлен имеет n+1 коэффициент. Естественно предполагать, что n+1 условия (2), наложенные на многочлен, позволят однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для Pn (x) выполнения условий (2), получаем систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными:
n
? ak xi n - k = yi (i = 0, 1,..., n). (4)
k=0
Решая эту систему относительно неизвестных а1, а2,..., аn, мы и получим аналитическое выражение полинома (3). Система (4) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель, известный как определитель Вандермонда, отличен от нуля. Отсюда следует, что интерполяционный многочлен Pn(x) для функции f, заданной таблично, существует и единственен.
Чтобы написать программу, реализующую этот алгоритм, необходимо затратить от нескольких часов до нескольких дней. А потом, она поможет сэкономить многие и многие месяцы, ушедшие бы на выполнения однотипных арифметических операций для вычисления интерполяционных полиномов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Область применения электронно-вычислительных машин в наше время необычайно широка, и продолжает расширяться. Она не ограничивается только лишь исследованием функций или математических объектов произвольной природы вообще. Сфера применения компьютерной техники в науке гораздо шире и начинает охватывать те области знания, к которых раньше даже и не мыслилась. Процесс этот необратим, и скоро компьютер станет главным, но далеко не единственным инструментом ученого в его научной работе. Однако, не верно было бы думать, что с возрастанием роли компьютеров в научном познании роль человека будет неуклонно снижаться до уровня обслуживающего персонала. Человек всегда был и будет ведущим в связке человек-компьютер. Научный поиск ? процесс творческий, а компьютеры этого не умеют, и научаться еще очень не скоро.
Список использованной литературы:
1. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной,
Москва, Наука, 1974 г.
2. В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс
алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.
3. К. А. Рыбников, Возникновение и развитие математической
науки, Москва, Просвещение, 1987 г.
4. Н. И. Борисов, Как обучать математике, Москва, Просвещение,
1979 г.
5. Г. И. Глейзер, История математики в школе, IX-X классы,
Москва, Просвещение, 1983 г.
6. Л. С. Понтрягин, Математический анализ для школьников,
Москва, Наука, 1983 г.
7. Ю. С. Богданов, Н. В. Пыжкова, Л. П. Черенкова, Начала
анализа функций двух переменных в наглядном изложении,
Минск, Вышэйшая школа, 1987 г.
8. С.Г. Крейн, В. Н. Ушаков, Математический анализ элементарных
функций, Москва, Наука, 1966 г.
9. О. Г. Омельяновский, Диалектика в науках о неживой природе,
Москва, Мысль, 1964 г.
16
Скачали данный реферат: Пушной, Крылов, Ягеман, Vasilida, Jarustovskij, Lapaev.
Последние просмотренные рефераты на тему: изложение по русскому 6 класс, дипломная работа школа, украинские рефераты, методы курсовой работы.
1
Стр.
1. Краткий обзор развития понятия числа.........................................3
2. Определение функции........................................................................4
3. Общее определение функции в XIX в.
Дальнейшее развитие понятия функции.........................................7
4. Изучение функций в школе.............................................................10
5. Исследование функций с помощью ЭВМ.....................................15
6. Заключение........................................................................................17
7. Список использованной литературы............................................19
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и тому подобного. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.
С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия “больше”, “меньше”, “столько же” или “равно”. Вероятно, на этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека.
С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика. Ее возникновению и развитию способствовали практические потребности ? строительство разнообразных сооружений, торговля и мореходство. Долгое время в арифметике имели дело с числами относительно небольшими. Например, в системе счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название, была “мириада” ? 10 000. Еще в III в. до н. э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Вот тогда-то Архимед в своем трактате “Исчисление песчинок” ? “Псаммит” разработал систему, которая позволяла выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен.
Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному. Смелая идея бесконечности, которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла в математике широкие возможности, хотя и вызвала значительные противоречия, некоторые из них не раскрыты и по сей день.
В IV в. до н. э. греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через ? 2. Ученые того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа. Они нашли выход в том, что под числами стали понимать длины отрезков прямых.
Геометрическое выражение чисел на первых этапах сыграло положительную роль в дальнейшем продвижении математики, но затем вызвало ряд затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры.
Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби.
Таким образом, понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные. Но на этом развитие не завершилось. В связи с решением уравнений математики встретились с числом, которое выражалось ? ?1. Оно получило название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавались за числа. После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745-1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически, то так называемые “мнимые числа” получили свое место в множестве комплексных чисел. Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера, которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковывали геометрически.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.
Те вавилонские ученые, которые 4?5 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции. Другим примером могут служить тригонометрические таблицы, составление которых началось задолго до начала нашей эры. Особый интерес представляют таблицы синусов Беруни, в которых дано правило линейного интерполирования. В современной символике его можно выразить так:
sin x = sin x0 + (x ? x0)?(sin (x0 + 15?) ? sin x0)
15?
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В “Геометрии” Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых ? функции от абсцисс (х); путь и скорость ? функции от времени (t) и тому подобное.
Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей “Геометрии” лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения ? формулы.
Слово “функция” (от латинского functio ? совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение “функция от х” стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа” (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак ? х, называя ? характеристикой функции, а также буквы х или ?; Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : y, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Наряду с ? Эйлер предлагает пользоваться и буквами ?, ? и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, ? t, ? (t + s).
Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: “Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных”.
Леонард Эйлер во “Введении в анализ бесконечных” (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: “Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную “свободным влечением руки”. В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебаний струны.
В “Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер дает общее определение функции: “Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых”. “Это наименование, ? продолжает далее Эйлер, ? имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других”. На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем “Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению”, опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: “Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому”.
Как видно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.
ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ В XIX в.
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ
Одним из нерешенных в XVIII в. вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями ?
Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг. по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.
Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”, опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.
В 1834 г. в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: “Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”.
Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: “у есть функция переменной х (на отрезке a ? х ? b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие ? аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами”.
Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая “функция Дирихле” ? (х):
? 1 для всех рациональных значений х
? (х) = ?
? 0 для всех иррациональных значений х
Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.
Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В ? значениями функции; во втором случае х ? прообразы, у ? образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка a ? x ? b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n !, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.
Вот простой пример (рис. 1). Пусть х1х2х3 ? треугольник, d ? прямая в плоскости треуголь- ника, рассматриваемая как ось симметрии. Каждой точке х (х1, х2, х3, х4,...), лежащей внутри или на сторонах треугольника, ставим в соответствие точку у (у1, у2, у3, у4,...), определенную указанным преобразованием симметрии. Таким образом, множество точек треугольника х1х2х3 отображено на множест- во точек треугольника у1у2у3.
Налицо имеется функция у = f (х), заданная на множестве х (значения аргумента, прообразы) точек треугольника х1х2х3. Это так называемая “область определения функции”. Симметричный треугольник у1у2у3 представляет множество у значений функции (образов). Характеристика f функции в данном случае указывает на осевую симметрию относительно данной прямой d.
Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшим классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги “Основы квантовой механики” Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателя квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30?40-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а “функции области”, что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например, температуру тела в точке практически определить нельзя; в то время как средняя температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл.
В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л. Шварца ? И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и другие.
Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика ? незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.
ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЕ
Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Это понятие в дальнейшем играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа. Начиная с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классы функций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуют квадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции. В более старших классах вводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные и логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел.
В настоящее время, на волне педагогического поиска, стало появляться множество экспериментальных учебников для использования в школе. Наряду с добротными, толково написанными учебниками, в школы стала попадать, под предлогом апробации, масса учебников с довольно вольной трактовкой учебного материала, в том числе и глав, касающихся изучения функций. Часто нарушается логический порядок следования изучаемых разделов, допускаются ошибки при построении графиков, материал необоснованно упрощается, примитивизируется или наоборот, чрезмерно перегружается терминами и символикой.
Но тем не менее, в настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. Сложившись исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций, в средних классах школ.
Вот как, примерно, реализуется индуктивный подход к изучению понятия функции в 7 классе:
“На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.
В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.
Рассмотрим примеры.”
Далее следуют примеры призванные наглядно продемонстрировать только что изложенный материал.
П р и м е р 1. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2.
Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.
Так,
если a = 3, то S = 32 = 9;
если a = 15, то S = 152 = 225;
если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.
Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой
S = a2 0).
Затем дается первое определение зависимой и независимой переменных:
“Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями a, ? зависимой переменной”.
“ П р и м е р 2. На рисунке 2 изображен график температуры воздуха в течении суток.
С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 ? t ? 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия). Например,
если t = 6, то p = ?2;
если t = 12, то p = 2;
если t = 17, то p = 3;
Здесь t является независимой переменной, а p ? зависимой переменной.
П р и м е р 3. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m ? соответствующая стоимость проезда в тысячах рублей):
По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2,..., 9, можно найти соответствующее значение m. Так,
если n = 2, то m = 1.5;
если n = 6, то m = 4 ;
если n = 9, то m = 8.5;
В этом случае n является независимой переменной, а m ? зависимой переменной.”
Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором ? графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что для них он не будет абсолютно новым ? они уже сталкивались с этим ранее.
Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и значение функции.
“В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.”
Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное полное и сжатое изложение учебного материала, пускай даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” в соответствии с дедуктивным подходом:
1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.
2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х).
3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у ? зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.
4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.
5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.
6. Для функции f приняты обозначения: D ( f ) ?область определения функции, E ( f ) ? множество значений функции, f (х0) ? значение функции в точке х0.
7. Если D ( f ) ? R и E ( f ) ? R, то функцию называют числовой.
8. Элементы множества D ( f ) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E ( f ) ? значениями функции.
9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты ? соответствующим значениям функции.
Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все определения, прорешиваются примеры ? идет усвоение нового материала.
Рассмотренные выше подходы к изучению функций в школе не охватывают все многообразие способов и методов изучения этого понятия. Они лишь являются основными, наиболее разработанными подходами к вопросу об изучении функций в школе, ориентируясь на которые можно разрабатывать новые, специфические методы обучения, которые были бы лишены недостатков вышеперечисленных подходов и были бы следующим шагом в деле обучения математике в школе.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ЭВМ
История алгебры насчитывает не одну тысячу лет, и все открытия и достижения в этой области человеческого знания были получены только с помощью тяжелого умственного труда, не в последнюю очередь связанного с огромным объемом вычислений, которые приходилось производить, часто неоднократно, для получения желаемых результатов. Многим известным математикам, от древности и вплоть до нашего века, приходилось содержать целый штат вычислителей, которые выполняли огромный объем второстепенных вычислений, давая возможность ученому заниматься непосредственно развитием математической науки.
С развитием математических представлений об окружающем мире многие расчеты и вычисления многократно усложнились, так что целые коллективы вычислителей тратили иногда не один месяц на выполнение каких-либо расчетов. К тому же с усложнением вычислений неизбежно увеличивалось количество непроизвольно допущенных ошибок.
Счастливым выходом из создавшегося положения явилось изобретение в 1943 г. первой электронно-вычислительной машины. Существовавшие до этого механические вычислители, которые могли выполнять только четыре арифметические операции, не шли ни в какое сравнение с этой, пусть еще не совершенной, вычислительной техникой. Сразу же после прохождения лабораторных испытаний электронно-вычислительные машины (ЭВМ), были применены для научных расчетов в квантовой и ядерной физике. В дальнейшем, по мере развития электроники, каждый научно-исследовательский институт обзаводился собственной ЭВМ. Уже в самом начале своего применения они обеспечивали неслыханную по тем временам скорость вычислений ? несколько тысяч операций в секунду. Это позволило многократно увеличить скорость и точность математических вычислений и подняло труд ученых на качественно новый уровень.
Современные ЭВМ оставили далеко позади те первые, построенные на реле и лампах, машины; в миллион раз производительнее, они позволяют выполнять невероятно сложные расчеты в фантастически короткие сроки: то, над чем сотни вычислителей работали бы несколько месяцев, эти машины способны вычислить за несколько минут.
Учитывая вышесказанное, необыкновенно логичным кажется применение компьютеров для исследования свойств функций. Что и было сделано несколько десятилетий назад. Естественно, для успешного исследования свойств функций потребовался мощный математический аппарат. Наиболее успешным оказался перенос на компьютерную основу методов Лагранжа, Ньютона, Котеса, Симпсона и многих других. За считанные годы компьютер научили строить графики функций, дифференцировать и интегрировать сами функции, кроме этого интерполировать и экстраполировать функции, решать линейные и дифференциальные уравнения и их системы, находить приближающие функции и множество других, не менее важных вещей.
Взять к примеру интерполяционный многочлен Лагранжа. Очень часто на практике имеется какая-либо функциональная последовательность не выраженная в аналитической форме, либо вообще выраженная только графиком или набором пар значений. А требуется получить аналитическое выражение описывающее данный график или таблицу. Имея несколько пар значений функции ? узлов интерполирования, задача найти интерполирующую функцию представляется длительной и трудоемкой, имея же несколько сотен таких узлов ? практически невыполнимой. Компьютер же справляется с этой задачей за считанные секунды.
Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу:
?????????????????
х х0 х1... хn
?????????????????
f (х) у0 у1... уn
?????????????????
При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента х, которое входит в отрезок ? х0 ; хn ?, но не совпадает ни с одним из значений х i ( i = 0, 1,..., n ).
Очевидный прием решения этой задачи ? вычислить значение f (х), воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Этот прием однако, можно применить лишь в случае, когда аналитическое выражение f пригодно для вычислений. Более того, как уже упоминалось выше, часто аналитическое выражение функции f вовсе не известно. В этих случаях как раз и применяется построение по исходной таблице приближающей функции F, которая в некотором смысле близка к функции f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что
f (x) = F (x). (1)
Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f (x) и F (x) в точках хi ( i = 0, 1, 2,..., n), т.е.
F (x0) = y0, F (x1) = y1,..., F (xn) = yn. (2)
Будем искать интерполирующую функцию F (x) в виде многочлена степени n:
Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +... +an-1x + an. (3)
Этот многочлен имеет n+1 коэффициент. Естественно предполагать, что n+1 условия (2), наложенные на многочлен, позволят однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для Pn (x) выполнения условий (2), получаем систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными:
n
? ak xi n - k = yi (i = 0, 1,..., n). (4)
k=0
Решая эту систему относительно неизвестных а1, а2,..., аn, мы и получим аналитическое выражение полинома (3). Система (4) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель, известный как определитель Вандермонда, отличен от нуля. Отсюда следует, что интерполяционный многочлен Pn(x) для функции f, заданной таблично, существует и единственен.
Чтобы написать программу, реализующую этот алгоритм, необходимо затратить от нескольких часов до нескольких дней. А потом, она поможет сэкономить многие и многие месяцы, ушедшие бы на выполнения однотипных арифметических операций для вычисления интерполяционных полиномов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Область применения электронно-вычислительных машин в наше время необычайно широка, и продолжает расширяться. Она не ограничивается только лишь исследованием функций или математических объектов произвольной природы вообще. Сфера применения компьютерной техники в науке гораздо шире и начинает охватывать те области знания, к которых раньше даже и не мыслилась. Процесс этот необратим, и скоро компьютер станет главным, но далеко не единственным инструментом ученого в его научной работе. Однако, не верно было бы думать, что с возрастанием роли компьютеров в научном познании роль человека будет неуклонно снижаться до уровня обслуживающего персонала. Человек всегда был и будет ведущим в связке человек-компьютер. Научный поиск ? процесс творческий, а компьютеры этого не умеют, и научаться еще очень не скоро.
Список использованной литературы:
1. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной,
Москва, Наука, 1974 г.
2. В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс
алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.
3. К. А. Рыбников, Возникновение и развитие математической
науки, Москва, Просвещение, 1987 г.
4. Н. И. Борисов, Как обучать математике, Москва, Просвещение,
1979 г.
5. Г. И. Глейзер, История математики в школе, IX-X классы,
Москва, Просвещение, 1983 г.
6. Л. С. Понтрягин, Математический анализ для школьников,
Москва, Наука, 1983 г.
7. Ю. С. Богданов, Н. В. Пыжкова, Л. П. Черенкова, Начала
анализа функций двух переменных в наглядном изложении,
Минск, Вышэйшая школа, 1987 г.
8. С.Г. Крейн, В. Н. Ушаков, Математический анализ элементарных
функций, Москва, Наука, 1966 г.
9. О. Г. Омельяновский, Диалектика в науках о неживой природе,
Москва, Мысль, 1964 г.
16
Скачали данный реферат: Пушной, Крылов, Ягеман, Vasilida, Jarustovskij, Lapaev.
Последние просмотренные рефераты на тему: изложение по русскому 6 класс, дипломная работа школа, украинские рефераты, методы курсовой работы.
1