Геометрические характеристики поперечных сечений

Категория реферата: Остальные рефераты
Теги реферата: море реферат, реферат по информатике
Добавил(а) на сайт: Бальсунов.

Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х1 и y1. Требуется определить моменты инерции относительно осей x2 и y2

(3)

Подставляя сюда х2 = x1 — а и y2 = y1 — b и раскрывая скобки (согласно (1) и (2)) находим

Если оси x1 и y1 — центральные, то Sx1 = Sy1 = 0. Тогда

(4)

Следовательно, при параллельном переносе осей (если одна из осей — центральная) осевые моменты инерции меняются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между осями.

Из первых двух формул (4) следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (а = 0 или Ь = 0). Поэтому легко запомнить, что при переходе от центральных осей к нецентральным осевые моменты инерции увеличиваются и величины a2F и b2F следует к моментам инерции прибавлять, а при переходе от нецентральных осей к центральным — вычитать.

При определении центробежного момента инерции по формулам (4) следует учитывать знак величин а и b. Можно, однако, и сразу установить, в какую сторону меняется величина Jxy при параллельном переносе осей. Для этого следует иметь в виду, что часть площади, находящаяся в I и III квадрантах системы координат x1y1, дает положительное значение центробежного момента, а части, находящиеся в II и IV квадрантах, дают отрицательные значения.
Поэтому при переносе осей проще всего устанавливать знак слагаемого abF в соответствии с тем, какие из четырех слагаемых площадей увеличиваются и какие — уменьшаются.

ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

Рис. 3

Посмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте осей координат.
Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно центральных). Требуется определить Ju, Jv, Juv — моменты инерции относительно осей и, v, повернутых относительно первой системы на угол ( (рис. 3).
Проектируем замкнутый четырехугольник ОАВСО на оси и и v. Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающей, находим:

u = y sin ( +x cos (, v = y cos ( — x sin (

В выражениях (3), подставив вместо x1 и y1 соответственно u и v, исключаем u и v

откуда

(5)

Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим, что сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла ( и при повороте осей остается постоянной. При этом

x2 + y2 = (2

где ( — расстояние от начала координат до элементарной площадки (рис. 3).
Таким образом,

Jx + Jy = Jp

где Jp— полярный момент инерции

величина которого, естественно, не зависит от поворота осей ху.

С изменением угла поворота осей ( каждая из величин Ju и Jv меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое (, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение.

Дифференцируя выражение Ju (5) по ( и приравнивая производную нулю, находим

(6)

При этом значении угла ( один из осевых моментов будет наибольшим, а другой — наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции Juv при указанном угле ( обращается в нуль, что легко устанавливается из третьей формулы (5).

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки