Постановка задачи оптимального управления.
Состояние объекта управления характеризуется n -мерной вектор функцией, например, функцией времени[pic][pic]
Так, шестимерная вектор-функция времени полностью определяет положение самолета как твердого тела в пространстве. Три координаты определяют положение центра масс, а три - вращение вокруг центра масс.
От управляющего органа к объекту управления поступает вектор-функция [pic].
Векторы x' и u' , обычно связаны между собой каким-то соотношением.
Наиболее развитым в настоящее время является уравнение, в котором векторы связаны системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
И так, пусть движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений

[pic](1.1) где [pic]- вектор координат объекта или фазовых координат,

[pic]- заданная вектор-функция, [pic]- вектор управлений или просто управление.
В уравнении (1.1) векторы [pic]являются функциями переменной t, обозначающей время, причем[pic], где[pic] - отрезок времени, на котором происходит управление системой.

На управление обычно накладывается условие

[pic], [pic](1.2) где U(t) - заданное множество в [pic]при каждом [pic].

Будем называть далее управлением кусочно-непрерывную на отрезке [pic](т. е. имеющую конечное число разрывов первого рода) r--мерную вектор-функцию и, непрерывную справа в точках разрыва и непрерывную в точке Т. Управление и называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничению (1.2).

Заметим, что ограничиться рассмотрением непрерывных управлений оказывается невозможным, так как с их помощью трудно моделировать моменты переключения управления такие, как, например, включение и отключение двигателей, отделение ступеней ракеты, поворот рулей и т. д.

Иногда рассматривают и более широкие классы допустимых управлений, например, класс всех ограниченных измеримых управлений, удовлетворяющих условию (1.2).

Покажем, как при произвольном начальном положении [pic] и допустимом управлении и определяется траектория управляемого объекта. Рассмотрим задачу Коши

[pic][pic](1.3)
Поскольку при разрывных правых частях классическое понятие решения системы дифференциальных уравнений неприменимо, поясним, что понимается в данном случае под решением задачи (1.3). Для этого поступим следующим образом.
Пусть функция и имеет скачки в точках[pic] причем[pic]. Предположим, что задача (1.3) имеет решение х, определенное на всем отрезке [to,[pic]], причем [pic]. Далее рассмотрим задачу Коши

[pic][pic].
Предполагая, что она имеет решение на отрезке [[pic]] и [pic],приходим к задаче

[pic][pic]и т. д.
Если функцию х удалось определить указанным способом на всем отрезке [to.

Т], то будем называть ее решением задачи (1.3) или фазовой траекторией
(иногда просто траекторией), соответствующей управлению и. Отметим, что x - непрерывная по построению функция, удовлетворяющая на отрезке[pic] равенству

[pic]

При выполнении определенных условий на f решение задачи (1.3), соответствующее управлению и, существует и единственно при произвольном начальном положении [pic]и произвольном допустимом управлении и.

Помимо ограничения на управление могут существовать ограничения и на фазовые координаты

[pic][pic](1.4)

Ограничения на концах траектории целесообразно рассматривать отдельно:

[pic](1.5)

здесь[pic], S (Т) - заданные множества из R";

[pic]-заданные множества из R, причем inf [pic]< sup[pic], toВ более подробной покоординатной записи сопряженная система принимает вид

[pic], (2.3)
Система (2.3) имеет при любых начальных условиях единственное решение[pic]
, определенное и непрерывное на всем отрезке [pic].
Следующая теорема выражает необходимые условия оптимальности в задаче
(2.1).

Теорема (принцип максимума Понтрягина).
Пусть функции[pic] и, Ф, g1, ..., gm имеют частные производные по переменным х1, ..., Хn и непрерывны вместе с этими производными по совокупности аргументов х[pic] , и [pic] U, t[pic] [to. Т]. Предположим, что (и, х)-решение задачи (2.1). Тогда существует решение [pic] сопряженной системы (2.3), соответствующей управлению и и траектории х, и константа [pic] такие, что
| [pic] | + || [pic](t) || при t[pic] [to, Т], и выполняются следующие условия: а) (условие максимума) при каждом t[pic] [to. Т] функция Гамильтона[pic], достигает максимума по[pic] при v=u (t), т. е.
H(x(t), u(t),[pic]=max H(x(t), v(t),[pic] (2.4) б)(условие трансверсальности на левом конце траектории) существуют числа[pic], такие, что

[pic](2.5) в) (условие трансверсальности на правом конце траектории) существуют числа [pic] такие, что

[pic](2.6)
Центральным в теореме является условие максимума -(2.4).

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки