Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

[pic]

Рис. 8

Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики) обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной системе отсчета тела. Так, мировая линия тела, покоящегося в начале координат, будет совпадать с временной осью 0 ct, а тела, покоящегося в пространственной точке xa - является прямой AB, параллельной оси времени.
Мировая линия тела, движущегося с постоянной скоростью V - (и при t = 0, находящегося в точке x(0) = 0) - прямая CD; мировая линия светового луча, испущенного из начала координат в напралении оси x - биссектриса координатного угла OF; мировая линия тела, движущегося с переменной скоростью v(t) - кривая MN (cм. Рис. 8а))

2.6 Геометрический смысл преобразований Лоренца

Выясним теперь геометрический смысл преобразований Лоренца. Еще раз запишем его только для x и t в виде
|x' = ? (x - ? ct), ct' = ? (ct -|
|? x). |
| |

Это линейное однородное преобразование, очень похожее на преобразование поворота на угол ? в плоскости XY:
|x' = x cos?+ y sin?, y' = - |
|x sin?+y cos?. |
| |

Новые оси x', y', получающиеся в результате поворота изображены на
Рис. 8 б).

Важнейшим свойством преобразования поворота является сохранение расстояния между любыми двумя точками: r12 = r'12.

Здесь:

[pic]

Введем величину, зависящую от параметров двух событий { [(r1)vec],t1
} и { [(r2)vec],t2 } и определенную равенством
|s12 = [ c2 (t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 - (y2 - |(15) |
|y1)2- (z2 - z1)2 ]1/2. | |
| | |

Она называется пространственно - временным интервалом.

Прямой подстановкой формул (12) можно проверить, что величина пространственно - временного интервала между двумя событиями является инвариантом преобразований Лоренца:
|s12' = s12. |(16) |
| | |

В двумерном случае [pic]можно рассматривать как "расстояние" между точками плоскости ct, x. Но квадрат разности координат входит в s12 со знаком "минус". Пространство, в котором расстояние между точками определено формулой (15) называется псевдоевклидовым. Наряду с отмеченным сходством, между евклидовым и псевдоевклидовым пространствами имеются принципиальные различия. В евклидовом пространстве расстояние между любыми точками r212 ?
0, равенство нулю означает, что точки совпадают. В псевдоевклидовом пространстве s212 может иметь любой знак, а его обращение в нуль возможно для двух совершенно различных точек пространства - времени.

Найдем положение новых осей (x', ct') на псевдоевклидовой плоскости.
Отложим координата x, ct на прямоугольных осях. (Рис. 9). Точка x' = 0, сопадающая с началом координат системы S', движется в системе S со скоростью V. Ее мировая линия будет представлять собой ось времени ct' системы S'. Эта ось будет наклонена к оси ct на угол ? = arctg (V/c). Ось x' новой системы можно определить условием ct' = 0. Но тогда в старой системе координат это будет прямая ct = ?x, проходящая через начало координат и составляющая с осью x тот же угол ? = arctg (V/c).

Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если попытаться найти связь между отрезками x', ct' и x, ct, посто проектируя отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси, но и искажают масштабы координат по осям!

Итак, основной результат состоит в том, что преобразования Лоренца можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в пространстве Минковского.

[pic]

Рис. 9

С помощью Рис. 9 можно дать геометрическую интерпретацию различным следствиям из преобразований Лоренца. Вспомним, например, относительность одновременности. В системе S линии равного времени - прямые параллельные оси 0x. В системе S' - это прямые, параллельные 0x', не совпадающие с линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в системе S событиями A и B в системе S' пройдет промежуток времени ? t' =
|A'B'|/c, причем событие B произойдет раньше.

Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат интервала s212 может быть как положительным, так и равным нулю и отрицательным.

Если s212 > 0, его называют времениподобным, при s212 < 0 - пространственноподобным, при s212 = 0 - светоподобным или нулевым.

Характер интервала тесно связан c причинностью - он определяет возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно - временных точках 1 и 2. Если s212 > 0, то из точки 1 можно послать сигнал со скоростью [pic], который вызовет событие 2. В случае s212 = 0 это также возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События, разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью [pic].

2.7 Замедление времени

Рассмотрим часы, покоящиеся в начале координат движущейся системы (x'
= 0), которые перемещаются относительно лабораторной системы координат со скоростью V, так что их координата x = V t пропорциональна времени, определяемому неподвижными часами. Инвариантность интервала позволяет, тогда, определить показания движущихся часов:
|t' = t |(17) |
| | |
|________ | |
|?1 - V2/c2 | |
| | |
|. | |
| | |

Рекомендуем скачать другие рефераты по теме: большой реферат, реферат условия.



Предыдущая страница реферата | 1  2  3  4  5  6  7  8 | Следующая страница реферата

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки